Xét số phức \(w\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{{\left| w \right| - w}}\) có phần thực bằng \(\dfrac{1}{4}\) và

Câu hỏi số 697016:

Vận dụng cao

Xét số phức \(w\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{{\left| w \right| - w}}\) có phần thực bằng \(\dfrac{1}{4}\) và \(\bar zw = 2i\). Khi \(\left| {z + i\bar w - 3 - 4i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị \(\left| {5z - 10w} \right|\) bằng

A. \(\sqrt {233} \).

B. \(\sqrt 5 \).

C. \(\sqrt {617} \).

D. \(3\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:697016

Giải chi tiết

\({w_0} = \dfrac{1}{{\left| w \right| - w}} = \dfrac{1}{4} + bi\,\,\left( {b \in \mathbb{R}} \right)\)

\( \Rightarrow {w_0} + \overline {{w_0}} = \dfrac{1}{{\left| w \right| - w}} + \dfrac{1}{{\left| w \right| - \bar w}} = \dfrac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{\left| w \right| - w}} - \dfrac{w}{{{{\left| w \right|}^2} - w\left| w \right|}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{{\left| w \right| - w}}{{\left| w \right|\left( {\left| w \right| - w} \right)}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \left| w \right| = 2\\ \Rightarrow \left| {i\bar w} \right| = 2\end{array}\)

Gọi \(A\left( {i\bar w} \right)\)

Khi đó \(A\) thuộc đường tròn tâm \(O\) bán kính \({R_1} = 2\)

Ta có: \(\bar zw = 2i \Rightarrow \left| {\bar zw} \right| = 2 \Rightarrow \left| z \right|.\left| w \right| = 2 \Rightarrow \left| z \right| = 1 \Rightarrow \left| {\left( {z - 3 - 4i} \right) + 3 + 4i} \right| = 1\)

Đặt \(u = z - 3 - 4i \Rightarrow \left| {u + 3 + 4i} \right| = 1\)

Gọi \(B\left( {z - 3 - 4i} \right)\)

Khi đó \(B\) thuộc đường tròn tâm \(I\left( { - 3; - 4} \right)\) bán kính \({R_2} = 1\)

Dựa vào hình vẽ trên ta thấy \(\min AB = OI - {R_1} - {R_2} = 5 - 2 - 1 = 2\)

Phương trình OI có dạng \(y = \dfrac{4}{3}x\) cắt (O,2) tại \(M\left( { - \dfrac{6}{5}, - \dfrac{8}{5}} \right)\), cắt (I,1) tại \(N\left( { - \dfrac{{12}}{5}, - \dfrac{{16}}{5}} \right)\)

Khi đó \(z - 3 - 4i = - \dfrac{{12}}{5} - \dfrac{{16}}{5}i,\,\,i\bar w = - \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i\\w = - \dfrac{8}{5} - \dfrac{6}{5}i\end{array} \right.\)

Vậy \(\left| {5z - 10w} \right| = \sqrt {617} \)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.