Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( { - 2;2; - 2} \right),\,\,B\left( {3; - 3;3} \right),\,\,C\left( {

Câu hỏi số 697015:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( { - 2;2; - 2} \right),\,\,B\left( {3; - 3;3} \right),\,\,C\left( { - 5;4; - 4} \right)\). Tập hợp tất cả các điểm \(M\) thay đổi thỏa mãn \(\dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{2}{3}\) là mặt cầu \(\left( S \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(C\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm nào dưới đây?

A. \(\left( {1;5; - 6} \right)\).

B. \(\left( { - 3;4;5} \right)\).

C. \(\left( { - 5;3;5} \right)\).

D. \(\left( { - 1; - 5;6} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:697015

Giải chi tiết

Ta có: \(\dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow 9M{A^2} - 4M{B^2} = 0 \Leftrightarrow 9{\overrightarrow {MA} ^2} - 4{\overrightarrow {MB} ^2} = 0\,\,\left( * \right)\)

Xét điểm \(I\) thỏa mãn \(9\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IB} = \vec 0 \Rightarrow I\left( { - 6;6; - 6} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = 48\\I{B^2} = 243\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 9{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - 4{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 5M{I^2} = 4I{B^2} - 9I{A^2}\\ \Leftrightarrow M{I^2} = \dfrac{{4I{B^2} - 9I{A^2}}}{5} = \dfrac{{4.243 - 9.48}}{5} = 108\\ \Leftrightarrow MI = 6\sqrt 3 \end{array}\)

Do đó \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(I\left( { - 6;6; - 6} \right),\,\,R = 6\sqrt 3 \)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(\left( P \right)\)

Khi đó \(IH = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \) với \(r\) là bán kính đường tròn

Rõ ràng \(IH \le IC\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(H \equiv C\)

Khi đó \(IC \bot \left( P \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {IC} = \left( {1; - 2;2} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\left( {x + 5} \right) - 2\left( {y - 4} \right) + 2\left( {z + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2z + 21 = 0\)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.