Một mô hình khối tròn xoay có trục là đường thẳng $MN$, khi ta cắt

Câu hỏi số 697898:

Vận dụng

Một mô hình khối tròn xoay có trục là đường thẳng $MN$, khi ta cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng đi qua trục của khối tròn xoay thì ta được mặt cắt có dạng như hình vẽ dưới đây

Biết $MN = 20{\rm{\;cm}},ABCD$ là hình chữ nhật có $AB = 16{\rm{\;cm}},AD = 32{\rm{\;cm}}$, hai cung $APD$ và $BQC$ là một phần của các đường parabol với đỉnh lần lượt là $P,Q$ và $PQ = 8{\rm{\;cm}}$. Tính thể tích của mô hình đó.

A. $\dfrac{{12416}}{{15}}\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$.

B. $\dfrac{{10496}}{{15}}\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$.

C. $\dfrac{{12896}}{{15}}\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$.

D. $\dfrac{{11456}}{{15}}\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:697898

Phương pháp giải

Gắn hệ trục toạ độ Oxy. Xác định toạ độ các điểm và các hàm số từ đó tính thể tích bằng tích phân

Giải chi tiết

Chọn hệ tọa Oxy như hình vẽ dưới đây

Khi đó, cung $A P D$ là một phần của đường parabol đỉnh $P(0 ; 4)$ và bề lõm quay lên nên có phương trình dạng $y=a x^2+4, a>0$.

Parabol đi qua $D(16 ; 8)$ nên ta có $8=256 a+4 \Leftrightarrow a=\dfrac{1}{64} \Rightarrow y=\dfrac{1}{64} x^2+4$.

Tương tự, ta có cung $B Q C$ là một phần của đường parabol có phương trình là $y=-\dfrac{1}{64} x^2-4$.

Thể tích của khối tròn xoay cần tìm là $V=V_1-2 V_2$.

$V_1$ là thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=\dfrac{1}{64} x^2+4$, trục hoành và hai đưởng thẳng $x=-16, x=16$ quay quanh $O x$ nên

$V_1=\pi \int_{-16}^{16}\left(\dfrac{1}{64} x^2+4\right)^2 \mathrm{~d} x=\dfrac{14336}{15} \pi\left(\mathrm{~cm}^3\right)$

$V_2$ là thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng 8 và chiều cao bằng 6 nên

$V_2=\dfrac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 6=128 \pi\left(\mathrm{~cm}^3\right)$.

Do đó $V=\dfrac{14336}{15} \pi-2.128 \pi=\dfrac{10496}{15} \pi\left(\mathrm{~cm}^3\right)$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.