Cho hàm số \(f\left( x \right)\) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( {0;

Câu hỏi số 698725:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{x{\rm{ln}}x}} + 3{x^2}{\rm{ln}}x\) và \(f\left( e \right) = {e^3}\). Tích phân bằng

A. \(\dfrac{3}{2}\).

B. 2.

C. \(\dfrac{1}{2}\).

D. \(\dfrac{5}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:698725

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{x{\rm{ln}}x}} + 3{x^2}{\rm{ln}}x\). Nhân hai vế với \(\dfrac{1}{{{\rm{ln}}x}}\), ta được

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{f'\left( x \right) \cdot \dfrac{1}{{{\rm{ln}}x}} = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{x{\rm{l}}{{\rm{n}}^2}x}} + 3{x^2} \Leftrightarrow f'\left( x \right) \cdot \dfrac{1}{{{\rm{ln}}x}} - f\left( x \right) \cdot \dfrac{1}{{x{\rm{l}}{{\rm{n}}^2}x}} = 3{x^2}}\\{}&{\; \Leftrightarrow f'\left( x \right) \cdot \dfrac{1}{{{\rm{ln}}x}} + f\left( x \right) \cdot {{\left( {\dfrac{1}{{{\rm{ln}}x}}} \right)}^{\rm{'}}} = 3{x^2} \Leftrightarrow {{\left( {f\left( x \right) \cdot \dfrac{1}{{{\rm{ln}}x}}} \right)}^{\rm{'}}} = 3{x^2}}\end{array}\).

Nguyên hàm hai vế, ta được \(f\left( x \right) \cdot \dfrac{1}{{{\rm{ln}}x}} = {x^3} + C\).ì \(f\left( e \right) = {e^3}\) nên \(f\left( e \right) \cdot \dfrac{1}{{{\rm{ln}}e}} = {e^3} + C \Leftrightarrow {e^3} \cdot 1 = {e^3} + C \Leftrightarrow C = 0\).

Vậy .

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.