Cho các số thực \(x;y\) thỏa mãn:\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\left[ {{x^2} + {{(y + 1)}^2}} \right] +

Câu hỏi số 698724:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(x;y\) thỏa mãn:

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\left[ {{x^2} + {{(y + 1)}^2}} \right] + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left[ {{x^2} - 56 + {{(y + 8)}^2}} \right] + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\left( {2y + 1} \right)\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = x + y\).

A. \(4 + 2\sqrt {10} \).

B. 4.

C. \(2 + 2\sqrt {10} \).

D. \(4 + \sqrt 5 \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:698724

Phương pháp giải

Hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {{(y + 1)}^2} > 0}\\{{x^2} + {y^2} > 0}\\{{x^2} - 56 + {{(y + 8)}^2} > 0}\\{2y + 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} > 0}\\{2y + 1 > 0}\end{array}} \right.} \right.\).

Ta có: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\left[ {{x^2} + {{(y + 1)}^2}} \right] + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left[ {{x^2} - 56 + {{(y + 8)}^2}} \right] + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\left( {2y + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\dfrac{{{x^2} + {{(y + 1)}^2}}}{{2y + 1}} \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\dfrac{{{x^2} - 56 + {{(y + 8)}^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\left( {\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{2y + 1}} + 1} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {1 + 8 \cdot \dfrac{{2y + 1}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\left( {\rm{*}} \right)\).

Đặt \(t = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{2y + 1}}(t > 0)\), bất phương trình \(\left( {\rm{*}} \right)\) trở thành: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\left( {t + 1} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {1 + \dfrac{8}{t}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\left( {t + 1} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {1 + \dfrac{8}{t}} \right) \le 0\).

Xét \(f\left( t \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\left( {t + 1} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {1 + \dfrac{8}{t}} \right)\) có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{\left( {t + 1} \right){\rm{ln}}5}} + \dfrac{8}{{t\left( {t + 8} \right){\rm{ln}}3}} > 0\).

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và dễ thấy \(f\left( 4 \right) = 0\).

Khi đó: \(f\left( t \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\left( {t + 1} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {1 + \dfrac{8}{t}} \right) \le 0 = f\left( 4 \right)\)

\( \Leftrightarrow t \le 4 \Rightarrow \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{2y + 1}} \le 4 \Leftrightarrow {x^2} + {(y - 4)^2} \le 20\).

Xét biểu thức \(P = x + y = x + \left( {y - 4} \right) + 4\)

\( \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {{x^2} + {{(y - 4)}^2}} \right)} + 4 \le \sqrt {2.20} + 4 = 4 + 2\sqrt {10} \).

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y - 4}\\{x + y = 4 + 2\sqrt {10} }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \sqrt {10} }\\{y = 4 + \sqrt {10} }\end{array}} \right.} \right.\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.