Cho các số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 2 - 4i} \right| = 1;\left| {{z_2} + 2} \right| =
Cho các số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 2 - 4i} \right| = 1;\left| {{z_2} + 2} \right| = \left| {{z_2} + 2i} \right|\), biết rằng \(\dfrac{{{z_1} - {z_2}}}{{1 + 2i}}\) là số thực. Gọi \(M,m\) là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\). Khi đó \(M + m\) thuộc khoảng nào sau đây?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Ta có \(\left| {{z_1} - 2 - 4i} \right| = 1\). Gọi \(A\) là điểm biểu diễn của \({z_1} = {x_1} + {y_1}i\left( {{x_1};{y_1} \in \mathbb{R}} \right)\).
Tập hợp điểm biểu diễn của \({z_1}\) là đường tròn tâm \(I\left( {2;4} \right),R = 1\).
Gọi \(B\) là điểm biểu diễn của \({z_2} = {x_2} + {y_2}i\left( {{x_2};{y_2} \in \mathbb{R}} \right)\).
Ta có \(\left| {{z_2} + 2} \right| = \left| {{z_2} + 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {{x_2} + {y_2}i + 2} \right| = \left| {{x_2} + {y_2}i + 2i} \right|\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x_2} + 2} \right)^2} + y_2^2 = x_2^2 + {\left( {{y_2} + 2} \right)^2} \Leftrightarrow x_2^2 + 4x + 4 + y_2^2 = x_2^2 + y_2^2 + 4y + 4\)
\( \Leftrightarrow 4{x_2} - 4{y_2} = 0 \Leftrightarrow {x_2} - {y_2} = 0\).
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của \({z_2}\) là đường thẳng \(d\) có phương trình \(x - y = 0\).
Đường thẳng \(d\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1} \right)\).
Vì \(\dfrac{{{z_1} - {z_2}}}{{1 + 2i}} = \dfrac{{{x_1} + {y_1}i - {x_2} - {y_2}i}}{{1 + 2i}} = \dfrac{{\left[ {\left( {{x_1} - {x_2}} \right) + \left( {{y_1} - {y_2}} \right)i} \right]\left( {1 - 2i} \right)}}{5} = \)
\( = \dfrac{{\left[ {\left( {{x_1} - {x_2}} \right) + 2\left( {{y_1} - {y_2}} \right)} \right]}}{5} + \dfrac{{\left[ { - 2\left( {{x_1} - {x_2}} \right) + \left( {{y_1} - {y_2}} \right)} \right]}}{5}i\) là số thực nên ta có: \( - 2\left( {{x_1} - {x_2}} \right) + \left( {{y_1} - {y_2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right) - \left( {{y_2} - {y_1}} \right) = 0\).
Vậy \(AB\) có một vectơ pháp tuyến là là \(\vec n = \left( {2; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{AB}}} = \left( {1;2} \right)\). Hay \(AB\) nằm trên đường thẳng có giá song song hoặc trùng với đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {1;2} \right)\) và qua gốc \(O\).
Lấy \(A\) thuộc đường tròn, \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(d,\alpha \) là góc giữa \(d\) và \({\rm{\Delta }}\).
Có: \(d\left( {I,d} \right) = \sqrt 2 > 1 = R\).
Ta có \({\rm{sin}}\alpha = \dfrac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AB = \dfrac{{AH}}{{{\rm{sin}}\alpha }}\), góc \(\alpha \) không đổi, và \(\left| {R - d\left( {I,d} \right)} \right| \le AH \le R + d\left( {I,d} \right)\)
\( \Rightarrow {\rm{max}}AB = \dfrac{{R + d\left( {I,d} \right)}}{{{\rm{sin}}\alpha }};{\rm{min}}AB = \dfrac{{\left| {R - d\left( {I,d} \right)} \right|}}{{{\rm{sin}}\alpha }} = \dfrac{{d\left( {I,d} \right) - R}}{{{\rm{sin}}\alpha }}\).
+) Ta có \({\rm{cos}}\alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} \overrightarrow {{u_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }}\).
Suy ra \({\rm{max}}AB = \dfrac{{d\left( {I;d} \right) + R}}{{{\rm{sin}}\left( {AB;d} \right)}} = \sqrt {10} + 2\sqrt 5 ;{\rm{min}}AB = \dfrac{{d\left( {I;d} \right) - R}}{{{\rm{sin}}\left( {AB;d} \right)}} = - \sqrt {10} + 2\sqrt 5 \).
\( \Rightarrow M + m = 4\sqrt 5 \approx 8,94 \in \left( {8;9} \right)\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
