Có bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho ứng với mỗi giá trị của \(y\), có
Có bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho ứng với mỗi giá trị của \(y\), có đúng 5 số nguyên dương \(x\) thỏa mãn \(2{x^3} + 6x + 1 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} + 3} \right) < \left| {4{x^2} - xy} \right| + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left| {4x - y} \right|\) ?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
$2 x^3+6 x+1+\log _2\left(x^2+3\right)<\left|4 x^2-x y\right|+\log _2|4 x-y|$
$x\left(2 x^2+6\right)+\log _2\left(2 x^2+6\right)<|x(4 x-y)|+\log _2|4 x-y|$
Xét $f(t)=x t+\log _2 t \Rightarrow f^{\prime}(\mathrm{t})=x+\dfrac{1}{t \cdot \ln 2}>0, \quad \forall t>0$
Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên $(0 ;+\infty)$
$2 x^2+6<|4 x-y| \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}4 x-y>2 x^2+6 \\ 4 x-y<-2 x^2-6\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}y<-2 x^2+4 x-6 \\ y>2 x^2+4 x+6\end{array}\right.\right.$
Với $y<-2 x^2+4 x-6$. Đặt $g(x)=-2 x^2+4 x-6$.
$g^{\prime}(x)=-4 x+4=0 \Rightarrow x=1$
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy mỗi giá trị của $y$, có đúng 5 số nguyên dương $x$ khi $-54 \leq y<-36$ mà $y \in \mathbb{Z}$ nên $y \in\{-54 ;-53 ; \ldots ;-37\}$ suy ra có 18 số nguyên.
Với $y>2 x^2+4 x+6$. Đặt $h(x)=2 x^2+4 x+6$.
$g^{\prime}(x)=4 x+4=0 \Rightarrow x=-1$ (loại)
Từ bảng biến thiên ta thấy mỗi mỗi giá trị của $y$, có đúng 5 số nguyên dương $x$ khi $76<y \leq 102$ mà $y \in \mathbb{Z}$ nên $y \in\{77 ; \ldots ; 102\}$ suy ra có 26 số nguyên.
Vậy có tất cả $26+18=44$ số nguyên $y$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
