Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có độ dài cạnh đáy bằng
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có độ dài cạnh đáy bằng \(2a,SA\) tạo với mặt đáy một góc \({30^ \circ }\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CD\) bằng
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi O là tâm đáy suy ra SO vuông góc với đáy. Suy ra góc giữa $SA$ và $(\mathrm{ABCD})$ là góc $\mathrm{SAO}$
Khi đó $\mathrm{d}=\mathrm{d}(\mathrm{CD}, \mathrm{AB})=\mathrm{d}(\mathrm{CD},(\mathrm{SAB}))=\mathrm{d}(\mathrm{C},(\mathrm{SAB}))=2 \mathrm{d}(\mathrm{O},(\mathrm{SAB})).$
Tính $d(O,(SAB)$
Gọi $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.
Ta có $\mathrm{SO} \perp(\mathrm{ABCD})$ (do $S \cdot A B C D$ là hình chóp tứ giác đều).
Suy ra góc giữa $SA$ và $(\mathrm{ABCD})$ là góc $\mathrm{SAO} \Rightarrow \widehat{\mathrm{SAO}}=30^{\circ}$.
Vì $CD / / AB$ nên $CD / /(SAB)$.
Do đó $\mathrm{d}=\mathrm{d}(\mathrm{CD}, \mathrm{AB})=\mathrm{d}(\mathrm{CD},(\mathrm{SAB}))=\mathrm{d}(\mathrm{C},(\mathrm{SAB}))=2 \mathrm{~d}(\mathrm{O},(\mathrm{SAB})).$
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Ta có $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AB} \perp \mathrm{OI} \\ \mathrm{AB} \perp \mathrm{SO}\end{array} \Rightarrow \mathrm{AB} \perp(\mathrm{SOI})\right.$
Dựng $O H$ vuông góc với $S I$ tại $H$ thì $\mathrm{AB} \perp \mathrm{OH}$.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{OH} \perp \mathrm{SI} \\ \mathrm{OH} \perp \mathrm{AB}\end{array} \Rightarrow \mathrm{OH} \perp(\mathrm{SAB})\right.$
$\Rightarrow \mathrm{d}(\mathrm{O},(\mathrm{SAB}))=\mathrm{OH}$.
Ta có $S O=O A \cdot \tan 30^{\circ} =\frac{2 \mathrm{a} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{a} \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
Ta có $\dfrac{1}{\mathrm{OH}^2}=\dfrac{1}{\mathrm{SO}^2}+\dfrac{1}{\mathrm{OI}^2}=\dfrac{3}{2 \mathrm{a}^2}+\frac{1}{\mathrm{a}^2}=\dfrac{5}{2 \mathrm{a}^2}$
$\Rightarrow \mathrm{OH}=\frac{\mathrm{a} \sqrt{10}}{5} \Rightarrow \mathrm{~d}=\frac{2 \mathrm{a} \sqrt{10}}{5}$.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
