Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có độ dài cạnh đáy bằng
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có độ dài cạnh đáy bằng \(2a,SA\) tạo với mặt đáy một góc \({30^ \circ }\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CD\) bằng
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi O là tâm đáy suy ra SO vuông góc với đáy. Suy ra góc giữa $SA$ và $(\mathrm{ABCD})$ là góc $\mathrm{SAO}$
Khi đó $\mathrm{d}=\mathrm{d}(\mathrm{CD}, \mathrm{AB})=\mathrm{d}(\mathrm{CD},(\mathrm{SAB}))=\mathrm{d}(\mathrm{C},(\mathrm{SAB}))=2 \mathrm{d}(\mathrm{O},(\mathrm{SAB})).$
Tính $d(O,(SAB)$
Gọi $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.
Ta có $\mathrm{SO} \perp(\mathrm{ABCD})$ (do $S \cdot A B C D$ là hình chóp tứ giác đều).
Suy ra góc giữa $SA$ và $(\mathrm{ABCD})$ là góc $\mathrm{SAO} \Rightarrow \widehat{\mathrm{SAO}}=30^{\circ}$.
Vì $CD / / AB$ nên $CD / /(SAB)$.
Do đó $\mathrm{d}=\mathrm{d}(\mathrm{CD}, \mathrm{AB})=\mathrm{d}(\mathrm{CD},(\mathrm{SAB}))=\mathrm{d}(\mathrm{C},(\mathrm{SAB}))=2 \mathrm{~d}(\mathrm{O},(\mathrm{SAB})).$
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Ta có $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AB} \perp \mathrm{OI} \\ \mathrm{AB} \perp \mathrm{SO}\end{array} \Rightarrow \mathrm{AB} \perp(\mathrm{SOI})\right.$
Dựng $O H$ vuông góc với $S I$ tại $H$ thì $\mathrm{AB} \perp \mathrm{OH}$.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{OH} \perp \mathrm{SI} \\ \mathrm{OH} \perp \mathrm{AB}\end{array} \Rightarrow \mathrm{OH} \perp(\mathrm{SAB})\right.$
$\Rightarrow \mathrm{d}(\mathrm{O},(\mathrm{SAB}))=\mathrm{OH}$.
Ta có $S O=O A \cdot \tan 30^{\circ} =\frac{2 \mathrm{a} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{a} \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
Ta có $\dfrac{1}{\mathrm{OH}^2}=\dfrac{1}{\mathrm{SO}^2}+\dfrac{1}{\mathrm{OI}^2}=\dfrac{3}{2 \mathrm{a}^2}+\frac{1}{\mathrm{a}^2}=\dfrac{5}{2 \mathrm{a}^2}$
$\Rightarrow \mathrm{OH}=\frac{\mathrm{a} \sqrt{10}}{5} \Rightarrow \mathrm{~d}=\frac{2 \mathrm{a} \sqrt{10}}{5}$.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
