Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx - 1,\,\,g\left( x \right) = m{x^2} + nx + 1\) có đồ thị

Câu hỏi số 701352:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx - 1,\,\,g\left( x \right) = m{x^2} + nx + 1\) có đồ thị như hình vẽ bên

Biết rằng và hai đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) thỏa \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 7\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng gạch sọc trong hình vẽ quay quanh trục \(Ox\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {\dfrac{2}{5};\dfrac{1}{2}} \right)\).

B. \(\left( {\dfrac{4}{5};1} \right)\).

C. \(\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{4}{5}} \right)\).

D. \(\left( {1;\dfrac{6}{5}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:701352

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\)

Vì

Mặt khác \(g\left( 2 \right) = - \dfrac{1}{3} \Rightarrow 4m + 2n + 1 = - \dfrac{1}{3}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) suy ra \(m = \dfrac{1}{3},\,\,n = - \dfrac{4}{3}\)

Vì cực trị của \(f\left( x \right)\) trùng với nghiệm của \(g\left( x \right)\) nên \(f'\left( x \right) = kg\left( x \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3a{x^2} + 2bx + c = k\left( {\dfrac{1}{3}{x^2} - \dfrac{4}{3}x + 1} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a = k.\dfrac{1}{3}\\2b = k.\dfrac{{ - 4}}{3}\\c = k\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{k}{9}\\b = - \dfrac{{2k}}{3}\\c = k\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có: \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = a{x^3} + \left( {b - m} \right){x^2} + \left( {c - n} \right)x - 2\)

Theo giả thiết \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 7 \Rightarrow \dfrac{{ - b + m}}{a} = 7 \Rightarrow \dfrac{{\dfrac{2}{3}k + \dfrac{1}{3}}}{{\dfrac{k}{9}}} = 7 \Rightarrow k = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{3}\\b = - 2\\c = 3\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{7}{3}{x^2} + \dfrac{{13}}{3}x - 2\)

\(f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 4,3\\x = 2\\x \approx 0,7\end{array} \right.\)

Thể tích khối tròn xoay tạo thành là \(V = \pi \int\limits_0^{0,7} {\left[ { - {{\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x - 1} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{3}{x^2} - \dfrac{4}{3}x + 1} \right)}^2}} \right]dx} \approx 0,45\)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.