Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(B\left( {2;5;0} \right),\,\,C\left( {4;7;0} \right)\) và \(E\left(

Câu hỏi số 701353:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(B\left( {2;5;0} \right),\,\,C\left( {4;7;0} \right)\) và \(E\left( {1;1;2} \right)\). Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng đi qua \(E\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), \(\Delta \) là giao tuyến của \(\left( Q \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\), \(T = 2d\left( {B,\left( Q \right)} \right) + d\left( {C,\left( Q \right)} \right)\). Khi \(T\) đạt giá trị lớn nhất, \(\Delta \) đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?

A. \(Q\left( { - 13;6;0} \right)\).

B. \(N\left( {15;4;0} \right)\).

C. \(P\left( {19; - 4;0} \right)\).

D. \(M\left( {18; - 6;0} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:701353

Giải chi tiết

Gọi \(\vec n = \left( {a;b;c} \right)\) là pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( Q \right)\)

Do \(\left( Q \right)\) vuông góc với \(Oxy\) nên \(\vec n = \left( {a;b;0} \right)\)

Mà \(\left( Q \right)\) đi qua \(E\left( {1;1;2} \right)\) nên \(\left( Q \right):ax + by - a - b = 0\)

TH1: \(B,\,\,C\) nằm cùng phía với \(\left( Q \right)\), khi đó \(a,\,\,b\) cùng dấu

Ta có:

\(\begin{array}{l}2d\left( {B,\left( Q \right)} \right) + d\left( {C,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{2\left| {a + 4b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \dfrac{{\left| {3a + 6b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\ = \dfrac{{\left| {2a + 8b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \dfrac{{\left| {3a + 6b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\left| {5a + 14b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\ \le \dfrac{{\sqrt {{5^2} + {{14}^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt {221} \end{array}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{5} = \dfrac{b}{{14}} \Rightarrow \left( Q \right):5x + 14y - 19 = 0\)

TH2: \(B,\,\,C\) nằm khác phía với \(\left( Q \right)\), khi đó \(a,\,\,b\) khác dấu

Ta có:

\(\begin{array}{l}2d\left( {B,\left( Q \right)} \right) + d\left( {C,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{2\left| {a + 4b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \dfrac{{\left| {3a + 6b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\ = \dfrac{{\left| {2a + 8b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \dfrac{{\left| {3a + 6b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\left| { - a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\ \le \dfrac{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt 5 \end{array}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{{ - 1}} = \dfrac{b}{2} \Rightarrow \left( Q \right): - x + 2y - 1 = 0\)

Vậy \(\left( Q \right):5x + 14y - 19 = 0 \Rightarrow Q\left( { - 13;6;0} \right) \in \left( Q \right)\)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.