Cho \(x\) và \(y\) là các số thực dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{2}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\dfrac{x}{9} +

Câu hỏi số 706233:

Vận dụng

Cho \(x\) và \(y\) là các số thực dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{2}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\dfrac{x}{9} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}y = \dfrac{{9 - x{y^2}}}{{{y^2}}}\). Khi biểu thức \(P = x + 6y\) đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của \(\dfrac{x}{y}\) bằng

A. \(\sqrt[3]{3}\).

B. \(\dfrac{3}{2}\).

C. \(\sqrt[3]{9}\).

D. 3 .

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:706233

Giải chi tiết

Với \(x,y \in {\mathbb{R}^ + }\), ta có: \(\dfrac{1}{2}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\dfrac{x}{9} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}y = \dfrac{{9 - x{y^2}}}{{{y^2}}}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\dfrac{x}{9} + 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}y = \dfrac{{18 - 2x{y^2}}}{{{y^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x{y^2} - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}9 = \dfrac{{18}}{{{y^2}}} - 2\dfrac{{x{y^2}}}{{{y^2}}}\\ \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x{y^2} + 2 . \dfrac{{x{y^2}}}{{{y^2}}} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}9 + 2 . \dfrac{9}{{{y^2}}}\end{array}\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}t + 2 . \dfrac{t}{{{y^2}}},t > 0\).

Khi đó: \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{3{\rm{ln}}t}} + \dfrac{2}{{{y^2}}} > 0,\forall t,y > 0\).

Do đó: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x{y^2} = 9 \Rightarrow x = \dfrac{9}{{{y^2}}}\).

\( \Rightarrow P = x + 6y = \dfrac{9}{{{y^2}}} + 6y = \dfrac{9}{{{y^2}}} + 3y + 3y \ge \sqrt[3]{{\dfrac{9}{{{y^2}}} . 3y . 3y}} = \sqrt[3]{{81}}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\dfrac{9}{{{y^2}}} = 3y \Rightarrow y = \sqrt[3]{3}\).

Vậy khi \({P_{{\rm{min}}}}\) thì \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{9}{{{y^3}}} = \dfrac{9}{3} = 3\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.