Xét các số phức \(z\), w thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\) và \(\left| w \right| = 5\). Khi \(\left|

Câu hỏi số 707345:

Vận dụng cao

Xét các số phức \(z\), w thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\) và \(\left| w \right| = 5\). Khi \(\left| {2z + w - 6 + 8i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của \(\left| {z - w} \right|\) bằng

A. \( \dfrac{1}{2}\).

B. \( \dfrac{{\sqrt {13} }}{2}\).

C. 4.

D. 5.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:707345

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {2z} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {\left( {2z - 6 + 8i} \right) + 6 - 8i} \right| = 2\).

Đặt \(2z - 6 + 8i = {{\rm{w}}_1} \Rightarrow \left| {{{\rm{w}}_1} + 6 - 8i} \right| = 2\).

\(M\left( {{{\rm{w}}_1}} \right)\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( { - 6;8} \right)\) và bán kính \({R_1} = 2\). \(\left| {\rm{w}} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| { - {\rm{w}}} \right| = 5\).

Đặt \({w_2} = - w \Rightarrow \left| {{w_2}} \right| = 5\).

\(N\left( {{{\rm{w}}_2}} \right)\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {0;0} \right)\) và bán kính \({R_2} = 5\).

\({I_1}{I_2} = 10 > 7 = {R_1} + {R_2}\) suy ra \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) không cắt nhau.

\( \Rightarrow \) \(\min \left| {2{\rm{z}} + {\rm{w}} - 6 + 8i} \right| = {\rm{Min}}\left| {{{\rm{w}}_1} - {{\rm{w}}_2}} \right| = {\rm{M}}\) in \(MN = {I_1}{I_2} - \left( {{R_1} + {R_2}} \right) = 3\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ \dfrac{{{I_1}M}}{{{I_1}{I_2}}} = \dfrac{1}{5}}\\{ \dfrac{{{I_2}N}}{{{I_2}{I_1}}} = \dfrac{1}{2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5{I_1}M = {I_1}{I_2}}\\{ - {I_2}N = \dfrac{1}{2}{I_2}{I_1}}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M\left( { - \dfrac{{24}}{5}; \dfrac{{32}}{5}} \right)}\\{N\left( { - 3;4} \right)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{w_1} = 2z - 6 + 8i = - \dfrac{{24}}{5} + \dfrac{{32}}{5}i}\\{{w_2} = - {\rm{w}} = - 3 + 4i}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{z = \dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{5}i}\\{w = 3 - 4i}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy \(\left| {z - w} \right| = \left| {\left( { \dfrac{3}{2} - 2i} \right) - \left( { \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}i} \right)} \right| = 4\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.