Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {0; + \infty } \right)$ và thỏa mãn \(f\left(

Câu hỏi số 707346:

Vận dụng

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {0; + \infty } \right)$ và thỏa mãn $f\left( {{x^3} + 3x} \right) = 5{x^2} + 3x$. Tính tích phân $\int_0^4(x+1) f^{\prime}(x)$.

A. $ \dfrac{{101}}{4}$.

B. $ \dfrac{{103}}{6}$.

C. $ \dfrac{{59}}{4}$.

D. 25.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:707346

Giải chi tiết

$$
\begin{aligned}
& f\left(x^3+3 x\right)=5 x^2+3 x \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
f(0)=0 \\
f(4)=8
\end{array}\right. \\
& f\left(x^3+3 x\right)=5 x^2+3 x \Rightarrow\left(3 x^2+3\right) f\left(x^3+3 x\right)=\left(3 x^2+3\right)\left(5 x^2+3 x\right)
\end{aligned}
$$

Suy ra: $\int_0^1\left(3 x^2+3\right) f\left(x^3+3 x\right) d x=\int_0^1\left(3 x^2+3\right)\left(5 x^2+3 x\right) d x=\frac{59}{4}$.
Đặt $x^3+3 x=t \Rightarrow\left(3 x^2+3\right) d x=d t ; x=0 \rightarrow t=0 ; x=1 \rightarrow t=4$
Ta có: $\int_0^1\left(3 x^2+3\right) f\left(x^3+3 x\right) d x=\frac{59}{4} \Leftrightarrow \int_0^4 f(t) d x=\frac{59}{4}$
$$
\int_0^4(x+1) f^{\prime}(x) d x=\left.(x+1) \cdot f(x)\right|_0 ^4-\int_0^4 f(x) d x=5 f(4)-1 \cdot f(0)-\frac{59}{4}=\frac{101}{4}
$$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.