Cho hai số thực không âm \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} + 4x - y + 3 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2} \dfrac{{\sqrt {2y + 3}
Cho hai số thực không âm \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} + 4x - y + 3 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2} \dfrac{{\sqrt {2y + 3} }}{{x + 2}}\). Khi biểu thức \(P = {e^{2x - 13}} + 2y - 36x\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(3x + 2y\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Ta có : \({x^2} + 4x - y + 3 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2} \dfrac{{\sqrt {2y + 3} }}{{x + 2}} \Leftrightarrow 2{x^2} + 8x - 2y + 6 = 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2} \dfrac{{\sqrt {2y + 3} }}{{x + 2}}\)
\( \Leftrightarrow 2{(x + 2)^2} - \left( {2y + 3} \right) + 1 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2} \dfrac{{2y + 3}}{{{{(x + 2)}^2}}} \Leftrightarrow 2{(x + 2)^2} - \left( {2y + 3} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2} \dfrac{{2y + 3}}{{2{{(x + 2)}^2}}}\)
\( \Leftrightarrow 2{(x + 2)^2} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left[ {2{{(x + 2)}^2}} \right] = \left( {2y + 3} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {2y + 3} \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t,(t > 0)\)
\(f'\left( t \right) = 1 + \dfrac{1}{{t{\rm{ln}}2}} > 0,(t > 0)\) suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Từ (1) suy ra \( \Leftrightarrow 2{(x + 2)^2} = \left( {2y + 3} \right) \Rightarrow 2y = 2{x^2} + 8x + 5\).
Do đó \(P = {e^{2x - 13}} + 2{x^2} + 8x + 5 - 36x = {e^{2x - 13}} + 2{x^2} - 28x + 5\)
\(P' = 2{e^{2x - 13}} + 4x - 28;{\rm{\;}}P'' = 4{e^{2x - 13}} + 4 > 0\)
Bảng biến thiên
Từ BBT suy ra \(P'\left( x \right) = 0\) có 1 nghiệm duy nhất. vì \(P'\left( {6,5} \right) = 0\) nên \(x = 6,5\) là nghiệm duy nhất của phương trình \(P'\left( x \right) = 0\)
Từ bảng biến thiên suy ra: m in \(P = P\left( {6,5} \right) = - \dfrac{{183}}{2}\) khi \(x = 6,5\) và \(y = 70,75\)
Khi đó: \(3x + 2y = 161\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
