Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình vuông, \(E\) là điểm đối xứng của

Câu hỏi số 715199:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình vuông, \(E\) là điểm đối xứng của \(D\) qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Tính góc giữa \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {BD} \).

A. \({60^\circ }\).

B. \({90^\circ }\).

C. \({45^\circ }\).

D. \({75^\circ }\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:715199

Giải chi tiết

Gọi \(O\) làm tâm hình vuông ABCD; Tứ giác SDAE là hình bình hành nên \(\overrightarrow {MA} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {SD} \). Khi đó

\(\overrightarrow {MN} {\rm{ }} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {SD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)

Ta có \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BD} = \left( { \dfrac{1}{2}\overrightarrow {SD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {BD} \)

\( = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {SD} .\overrightarrow {BD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} \)

\( = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {SD} .\overrightarrow {BD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} \)

\( = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BD} .(\overrightarrow {SD} + \overrightarrow {AB} ) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BD} .(\overrightarrow {SD} + \overrightarrow {DC} ){\rm{ }} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {SC} \)

Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot SO}\\{BD \bot AC}\end{array}} \right.\) nên \(BD \bot (SAC) \Rightarrow BD \bot SC\) hay \(\overrightarrow {BD} \cdot \overrightarrow {SC} = 0\).

Vậy \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BD} = 0\) hay \((\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {BD} ) = {90^\circ }\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.