Cho hình lập phương $ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$. Gọi M, N, P lần lượt

Câu hỏi số 715200:

Vận dụng

Cho hình lập phương $ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc cạnh $AB,{\rm{ }}AD,C'D'$ sao cho $ \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AN}}{{AD}} = \dfrac{{C'P}}{{C'D'}}=k$. Tính cosin của góc giữa $\overrightarrow {MN} $ và $\overrightarrow {CP} $.

A. $\frac{k}{\sqrt{2(1+k^2)}}$

B. $ \dfrac{{\sqrt {15} .{k^2}}}{5}$.

C. $ \dfrac{{{k^2}}}{{\sqrt {10} }}$.

D. $ \dfrac{{3{k^2}}}{{\sqrt {10} }}$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:715200

Giải chi tiết

Giả sử dộ dài cạnh hình lập phương là $a$. Ta có

$\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CP} = (\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} ).\left( {\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'P} } \right)$

$ = (\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} ).\overrightarrow {{C^\prime }P} {\rm{ }} = - \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{C^\prime }P} = - k\overrightarrow {AB} \cdot k\overrightarrow {C'D'} = {k^2}A{B^2}=k^2.a^2$

Ta có $MN = \sqrt{AM^2 + AN^2} = \sqrt{(ka)^2 + (ka)^2} = ka\sqrt{2}$

$CP = \sqrt{CC'^2 + C'P^2} = \sqrt{a^2 + (ka)^2} = a\sqrt{1+k^2}$

\cos(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{CP}) = \frac{\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{CP}}{MN \cdot CP} = \frac{k^2a^2}{ka\sqrt{2} \cdot a\sqrt{1+k^2}} = \frac{k}{\sqrt{2(1+k^2)}}

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.