Trong không gian cho tam giác ABC. Xác định vị trí của diểm \(M\) sao cho giá trị của biểu thức

Câu hỏi số 715198:

Vận dụng

Trong không gian cho tam giác ABC. Xác định vị trí của diểm \(M\) sao cho giá trị của biểu thức \(P = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(M\) là trọng tâm tam giác ABC.

B. \(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

C. \(M\) là trực tâm tam giác ABC.

D. \(M\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:715198

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC \Rightarrow G\) cố định và \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0\).

Ta có \(P = {(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} )^2} + {(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} )^2} + {(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} )^2}\)

\( = 3M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\)

\( = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} \ge G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}.\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv G\).

Vậy \({P_{\min }} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) với \(M \equiv G\) là trọng tâm tam giác ABC.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.