Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Tìm \(m\) để bất phương trình \(\sqrt {\sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} - m} -
Tìm \(m\) để bất phương trình \(\sqrt {\sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} - m} - \sqrt {3 + 2x - {x^2}} \le 2\,\,\,\,\left( * \right)\) có nghiệm. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
| Đúng | Sai | |
|---|---|---|
| 1) a) Điều kiện xác định của bất phương trình là \( - 1 \le x \le 3\) |
||
| 2) b) Đặt \(t = \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} \) thì tập giá trị của t là \(\left[ {0, + \infty } \right]\) |
||
| 3) c) Có 15 giá trị nguyên của m để bất phương trình có nghiệm |
||
| 4) d) Tổng các giá trị nguyên của m để bất phương trình có nghiệm là -88 |
Đáp án đúng là: 1Đ, 2S, 3S, 4Đ
Đáp số: 1 đúng, 2 sai, 3 sai, 4 đúng
Điều kiện: \( - 1 \le x \le 3\).
\(\left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt {\sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} - m} \le 2 + \sqrt {3 + 2x - {x^2}} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} - m \ge 0\\\sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} - m \le {\left( {2 + \sqrt {3 + 2x - {x^2}} } \right)^2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( I \right)\)
Đặt \(t = \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} \) có \(t' = \dfrac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} - \dfrac{1}{{2\sqrt {3 - x} }}\) và \(t' = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên \( \Rightarrow \) tập giá trị của \(t\) là \(t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\).
Ta có: \(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le t\\m \ge t - \dfrac{{{t^4}}}{4} = f\left( t \right)\end{array} \right.\)
Hệ \(\left( I \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \mathop {\max }\limits_{\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]} t\\m \ge \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]} f\left( t \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\sqrt 2 \\m \ge \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]} f\left( t \right)\end{array} \right.\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t - \dfrac{{{t^4}}}{4}\) trên \(\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\) có \(f'\left( t \right) = 1 - {t^3} < 0,\,\,\forall t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\)
Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) nghịch biến nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]} f\left( t \right) = f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 - 16\)
Kết luận: BPT có nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\sqrt 2 \\m \ge 2\sqrt 2 - 16\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left[ {2\sqrt 2 - 16;2\sqrt 2 } \right].\)
\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 13, - 12,...,2} \right\} \Rightarrow \sum\limits_{}^{} m = - 88\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
