Tìm \(m\) để bất phương trình \(\sqrt {\left( {4 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \le {x^2} - 2x +

Câu hỏi số 720283:

Vận dụng

Tìm \(m\) để bất phương trình \(\sqrt {\left( {4 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \le {x^2} - 2x + m\) nghiệm đúng \(\forall x \in \left[ { - 4;6} \right].\)

Xem lời giải

Câu hỏi:720283

Giải chi tiết

Cách 1:

BPT \( \Leftrightarrow m \ge f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + \sqrt {\left( {4 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \) đúng \(\forall x \in \left[ { - 4;6} \right]\) \( \Leftrightarrow m \ge \mathop {max}\limits_{\left[ { - 4;6} \right]} f\left( x \right)\).

Xét \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + \sqrt {\left( {4 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \)

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = - 2x + 2 + \dfrac{{ - 2x + 2}}{{2\sqrt {\left( {4 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {1 - x} \right)\left( {2 + \dfrac{1}{{\sqrt {\left( {4 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} }}} \right)\end{array}\)

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Lập BBT:

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 6\).

Kết luận: \(m \ge 6\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2:

Đặt \(t = \sqrt {\left( {4 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \le \dfrac{{\left( {4 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}}{2} = 5\) (Cô-si) \( \Rightarrow 0 \le t \le 5\).

Ta có \({t^2} = - {x^2} + 2x + 24.\) Khi đó BPT trở thành:

\( \Leftrightarrow m \ge f\left( t \right) = {t^2} + t - 24,\,\,\forall t \in \left[ {0;5} \right]\)

Ta có \(f'\left( t \right) = 2t + 1 > 0 \Rightarrow f\left( t \right)\) tăng trên \(\left[ {0;5} \right]\).

Suy ra ycbt \( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( t \right) = f\left( 5 \right) = 6\).

Vậy \(m \in \left[ {6; + \infty } \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.