Cho \(a,b,c\)là các số thực dương thỏa mãn \(12 + 13.\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}}

Câu hỏi số 720388:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\)là các số thực dương thỏa mãn \(12 + 13.\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) = 12.\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}} \right)\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = \dfrac{1}{{2a + b + c}} + \dfrac{1}{{a + 2b + c}} + \dfrac{1}{{a + b + 2c}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:720388

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

\({\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)^2} \le \left( {1 + 1 + 1} \right)\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}} \right) = 3\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}} \right)\)

Từ giả thiết \(12 + 13\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) = 12\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}} \right)\)

\( \Rightarrow 12 + 13\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 4{\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)^2} \Leftrightarrow 4{\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)^2} - 13\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) - 12 \le 0 \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \le 4\)

Với mọi \(a,b > 0\)ta có: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\)

Thật vậy: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}} \Leftrightarrow \dfrac{{a + b}}{{ab}} \ge \dfrac{4}{{a + b}} \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) luôn đúng

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{4}{{b + c}};\,\,\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} \ge \dfrac{4}{{c + a}}\\ \Rightarrow 2\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge \dfrac{4}{{a + b}} + \dfrac{4}{{b + c}} + \dfrac{4}{{c + a}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 2\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}}} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} \ge 2\left( {\dfrac{1}{{2a + b + c}} + \dfrac{1}{{a + 2b + c}} + \dfrac{1}{{a + b + 2c}}} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 4\left( {\dfrac{1}{{2a + b + c}} + \dfrac{1}{{a + 2b + c}} + \dfrac{1}{{a + b + 2c}}} \right) = 4M\\ \Rightarrow M \le \dfrac{1}{4}.\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \le \dfrac{1}{4}.4 = 1\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \dfrac{3}{4}\)

Vậy giá trị lớn nhất của M là 1 khi \(a = b = c = \dfrac{3}{4}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link