Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là giao điểm ba đường cao
Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là giao điểm ba đường cao AM, BN và CK của tam giác ABC. Gọi G là giao điểm của đường thẳng NK và đường thẳng BC.
a) Chứng minh BCNK, BMHK là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh KC là tia phân giác của \(\angle {MKN}\) và \(BG.CM = BM.CG\).
c) Gọi E và F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến NK và MK, từ N kẻ \(NP\parallel BC(P \in AH)\). Chứng minh ba điểm P, E, F thẳng hàng.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do AM, BN, CK là đường cao nên \(\angle BNC = \angle BKC = \angle BMA = \angle {90^0}\)
Xét tứ giác BCNK có \(\angle BKC = \angle BNC = {90^0}\)
Mà hai góc này kề nhau, cùng nhìn BC nên B,C,N,K cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Hay BCNK nội tiếp
Xét tứ giác BMHK có \(\angle AMB + \angle BKH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở ví trí đối diện nên tứ giác BMHK nội tiếp
b) Do BMHK nội tiếp nên \(\angle HKM = \angle HBM\) (góc nội tiếp cùng chắn HM)
Do BCNK nội tiếp nên \(\angle HBM = \angle HKN\)(góc nội tiếp cùng chắn NC)
\( \Rightarrow \angle HKM = \angle HKN \Rightarrow KH\) là phân giác của \(\angle MKN\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\angle HKM = \angle HKN\\\angle HKM + \angle MKB = {90^0}\\\angle HKN + \angle BKG = {180^0} - \angle BKC = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \angle MKB = \angle BKG\)
\( \Rightarrow BK\) là phân giác trong \(\angle MKG\), \(KC\) là phân giác ngoài của \(\angle MKG\)
\( \Rightarrow \dfrac{{BG}}{{BM}} = \dfrac{{GK}}{{MK}} = \dfrac{{CG}}{{CM}} \Rightarrow BG.CM = BM.CG\)
c) Do \(NP\parallel BC,BC \bot AH \Rightarrow NP \bot AH \Rightarrow \angle NPH = \angle NEH = {90^0}\)
\( \Rightarrow N,P,E,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính HN
\( \Rightarrow \angle PEN = \angle PHN\) (góc nội tiếp cùng chắn PN)
\(\angle PHN = \angle MHB\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \angle PEN = \angle MHB\) (1)
Do \(HE \bot KN,HF \bot KM\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle HEK + \angle HFK = {180^0} \Rightarrow HEKF\) nội tiếp
Ta có \(\angle HEF = \angle HKF\) (góc nội tiếp cùng chắn HF)
\(\angle HKF = \angle HBM\) (góc nội tiếp cùng chắn HM)
\( \Rightarrow \angle HEF = \angle HBM\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle PEN + \angle HEF = \angle MHB + \angle HBM = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle PEN + \angle HEF + \angle NEH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow P,E,F\) thẳng hàng.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
