Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m = 0\), với m là tham số. Tìm tất cả các giá

Câu hỏi số 720414:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m = 0\), với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) sao cho \({x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1} = 4\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:720414

Phương pháp giải

Áp dụng hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết

Xét \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 4m = {m^2} + 2m + 1 - 4m = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2}\)

\({\left( {m - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 1\).

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(m \ne 1\).

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 4m\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1} = 4\\ \Leftrightarrow {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} - 2{x_1} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 2{x_1} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {2\left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 2.4m - 2{x_1} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 4 - 8m - 2{x_1} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} = 2{x_1} \Leftrightarrow {x_1} = 2{m^2}\end{array}\)

Thay vào \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 4m\end{array} \right.\), ta được:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\2{m^2}{x_2} = 4m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{m^2} + {x_2} = 2m + 2\\{x_2} = \dfrac{2}{m}\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2{m^2} + \dfrac{2}{m} = 2m + 2 \Leftrightarrow 2{m^3} + 2 = 2{m^2} + 2m\\ \Leftrightarrow {m^3} - {m^2} - m + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2}\left( {m - 1} \right) - \left( {m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {m^2}\left( {m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0(TM)\\m = 1(KTM)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 0\) thì \({x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1} = 4\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link