Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC ( B, C là các tiếp điểm) và cát
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC ( B, C là các tiếp điểm) và cát tuyến ADE với đường tròn ( D nằm giữa A và E, O và B nằm về hai phía so với cát tuyến ADE ). Gọi I là trung điềm của DE, H là giao điểm của AO và BC.
a) Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiép đường tròn.
b) Gọi K là giao điểm của BC và AE. Chứng minh: \(AK.AI = AH.AO\).
c) Gọi M là điểm đối xứng của B qua E. Đường thẳng qua D và song song vơi B E cát BC, AB lần lượt tại P, Q. Chứng minh ba điểm A, P, M thẳng hàng.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do AB, AC là tiếp tuyến nên \(\angle OCA = \angle OBA = {90^0}\)
Xét tứ giác ABOC có \(\angle OCA + \angle OBA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác ABOC nội tiếp (dhnb)
b) Ta có \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), \(OB = OC = R\)
\( \Rightarrow OA\) là trung trực của BC
\( \Rightarrow OA \bot BC\) tại H là trung điểm của BC
\( \Rightarrow \angle OHK = {90^0}\)
Do I là trung điểm của ED nên \(OI \bot DE\) (quan hệ đường kính, dây cung)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle OIK = {90^0}\\ \Rightarrow \angle OHK + \angle OIK = {180^0}\end{array}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OHKI nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle AKH = \angle AOI\) (góc ngoài của đỉnh đối diện)
\( \Rightarrow \Delta AKH\)~ \(\Delta AOI\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{AO}} = \dfrac{{AH}}{{AI}}\)
\( \Rightarrow AK.AI = AO.AH\)
c) Ta có \(\Delta ADB\)~ \(\Delta ABE\left( {g.g} \right) \Rightarrow A{B^2} = AD.AE\)
Mà \(A{B^2} = AH.AO\) (hệ thức lượng)
\( \Rightarrow AD.AE = AH.AO \Rightarrow OHDE\) nội tiếp
\(\angle DHK = \angle {90^0} - \angle DHA = {90^0} - \angle AEO = \angle EOI = \dfrac{1}{2}\angle EOD = \dfrac{1}{2}\angle EHD\)
\( \Rightarrow HB\) là phân giác của góc EHD
Mà \(HA \bot HB\) nên HA là phân giác ngoài của \(\angle EHD\)
\( \Rightarrow \dfrac{{HD}}{{HE}} = \dfrac{{KD}}{{KE}} = \dfrac{{AD}}{{AE}}\)
Ta có \(\dfrac{{AD}}{{AE}} = \dfrac{{DQ}}{{EB}}\) (talet) và \(\dfrac{{PD}}{{EB}} = \dfrac{{DK}}{{KE}}\) (talet)
\( \Rightarrow \dfrac{{DQ}}{{EB}} = \dfrac{{PD}}{{EB}} \Rightarrow DQ = PD\)
Gọi M’ là giao điểm của AP và BE
Do \(PQ\parallel M'E \Rightarrow \dfrac{{DQ}}{{EB}} = \dfrac{{PD}}{{M'E}} \Rightarrow EB = EM' \Rightarrow E\) là trung điểm của BM’
\( \Rightarrow M \equiv M' \Rightarrow A,P,M\) thẳng hàng
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
