Tìm số nguyên \(a\) để hai phương trình \({x^2} + ax + 8 = 0\,\,\,(1)\) và \({x^2} + x + a =

Câu hỏi số 721171:

Vận dụng cao

Tìm số nguyên \(a\) để hai phương trình \({x^2} + ax + 8 = 0\,\,\,(1)\) và \({x^2} + x + a = 0\,\,\,(2)\) có ít nhất một nghiệm chung.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721171

Phương pháp giải

Đặt \({x_0}\) là nghiệm chung của hai phương trình, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x_0^2 + a{x_0} + 8 = 0\,\,\,(1)}\\{x_0^2 + {x_0} + a = 0\,\,\,\,(2)}\end{array}} \right.\)

Từ đó biến đổi để xác định \({x_0}\).

Giải chi tiết

Đặt \({x_0}\) là nghiệm chung của hai phương trình, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x_0^2 + a{x_0} + 8 = 0\,\,\,(1)}\\{x_0^2 + {x_0} + a = 0\,\,\,\,(2)}\end{array}} \right.\)
Từ phương trình (1) và (2) trừ từng vế ta được:

\(\left( {a - 1} \right) \cdot {x_0} + 8 - a = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right) \cdot {x_0} = a - 8{\rm{\;}}\,\,{\rm{(*)}}\)

Với \(a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1\) thì từ \(\left( {\rm{*}} \right)\) không tồn tại \({x_0}\) nên điều kiện \(a \ne 1\)
Từ phương trình \((*)\) ta có: \({x_0} = \dfrac{{a - 8}}{{a - 1}}\) thay vào phương trình (2) ta được:

\(\dfrac{{{{(a - 8)}^2}}}{{{{(a - 1)}^2}}} + \dfrac{{a - 8}}{{a - 1}} + a = 0\)

\({a^3} - 24a + 72 = 0\)

\(\left( {a + 6} \right)\left( {{a^2} - 6a + 12} \right) = 0\) \((**)\)

Ta có: \({a^2} - 6a + 12 = {(a - 3)^2} + 3 > 0\) nên \((**) \Leftrightarrow a + 6 = 0\,\,hay\,\,a = - 6\)
Với \(a = - 6\) thì phương trình (1) là \({x^2} - 6x + 8 = 0\) có nghiệm \({x_1} = 2;{x_2} = 4\)

Phương trình (2) là \({x^2} + x - 6 = 0\) có nghiệm \({x_1} = 2;{x_2} = - 3\) nên hai phương trình có nghiệm chung \(x = 2\)

Vậy với \(a = - 6\) thì hai phương trình có nghiệm chung là \(x = 2\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link