Cho đường tròn \(\left( O \right)\)đường kính AB. Trên tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)tại A
Cho đường tròn \(\left( O \right)\)đường kính AB. Trên tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)tại A lấy điểm C bất kì (khác A), đoạn thẳng BC cắt đường tròn tại điểm D (khác B). Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng CO.
a) Chứng minh tứ giác ACDH nội tiếp.
b) Khi \(AB = 6\;{\rm{cm}},AC = 4\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)Tính độ dài đoạn thẳng AH.
c) Chứng minh \(\Delta AHD\)~ \(\Delta BHA\)
d) Đường thẳng CO cắt đường tròn\(\left( O \right)\)tại hai điểm E, F (E nằm giữa C và O), hai đường thẳng DE và AF cắt nhau tại I. Chứng minh đường thẳng IH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AE.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất tình học để chứng minh.
a) \(\angle ADB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB nên \(\angle ADB = 90^\circ \)suy ra \(\angle ADC = 90^\circ \)
Vì \(AH \bot CO\)(gt) nên \(\angle AHC = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \angle ADC = \angle AHC = 90^\circ \)
Mà hai góc này kề nhau, cùng nhìn AC dưới góc \({90^0}\) nên A, C, D, H cùng thuộc đường tròn
Suy ra tứ giác ACDH nội tiếp.
b) Do AC là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)tại A nên \(\angle OAC = 90^\circ \)(tính chất của tiếp tuyến)
Ta có: \(OA = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\left( {cm} \right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong\(\Delta OAC\)vuông tại A, đường cao AH ta được:
\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}} = \dfrac{{25}}{{144}}\)
\( \Rightarrow A{H^2} = \dfrac{{144}}{{25}} \Rightarrow AH = \dfrac{{12}}{5}\left( {cm} \right)\)
c) Xét \(\Delta AOC\) vuông tại C, đường cao AH có \(O{A^2} = OH.OC\) (hệ thức lượng)
Mà \(OA = OB\left( { = R} \right) \Rightarrow O{B^2} = OH.OC \Rightarrow \dfrac{{OB}}{{OC}} = \dfrac{{OH}}{{OB}}\)
Kết hợp với \(\angle BOC\) chung suy ra \(\Delta OBH\)~\(\Delta OCB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle OBH = \angle OCB\)
Mà \(\angle OCB = \angle HCD = \angle HAD\) (góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
\( \Rightarrow \angle OBH = \angle HAD\) (1)
Ta có \(\angle HDA = \angle HCA\) (góc nội tiếp cùng chắn cung HA)
\(\angle HCA = \angle HAO\) (do cùng phụ với \(\angle HAC)\)
\( \Rightarrow \angle HDA = \angle HAO\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta AHD\)~\(\Delta BHA\) (g.g)
d) Gọi M là giao điểm của AE và IH, gọi N là giao điểm của AH với (O).
Ta có \(\angle EDH = \angle EDB - \angle HDB\)
\(\begin{array}{l} = {180^0} - \angle EAB - \angle HDB\\ = {180^0} - \angle EAB - \angle HAC\\ = {90^0} - \angle HAC + {90^0} - \angle EAB\\ = \angle HAB + \angle EBA\\ = \angle HAB + \angle EFA\\ = \angle HAB + \angle OAF\\ = \angle HAF\end{array}\)
\( \Rightarrow HDAI\) nội tiếp đường tròn
\( \Rightarrow \angle AHI = \angle ADI\) (cùng chắn cung AI)
Ta có \(\angle ADI = \angle ADE = \angle ANE\) (cùng chắn cung AE)
\( \Rightarrow \angle AHI = \angle ANE\)
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên \(MH\parallel NE\)
Ta có \(\Delta AEN\) có \(MH\parallel NE\), H là trung điểm của AN (\(OC \bot AN\) tại H)
\( \Rightarrow MH\) là đường trung bình của \(\Delta AEN\)
\( \Rightarrow M\) là trung điểm của AE
Vậy IH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AE.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
