Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BD, CE và AK
Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BD, CE và AK cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh \(AB \cdot AE = AD \cdot AC = AK \cdot AH\).
c) Gọi G, I lần lượt là giao điểm của các tia BD và CE với (O); các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt đường thẳng ED lần lượt tại M và L; tia LG cắt (O) tại N. Chứng minh ba điểm M, I, N thẳng hàng.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do BD, CE là đường cao nên \(\angle ADH = \angle AEH = {90^0}\)
Xét tứ giác ADHE có \(\angle ADH + \angle AEH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở ví trí đối diện nên tứ giác ADHE nội tiếp
b) Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta AKB\) có \(\angle AEH = \angle AKB = {90^0}\)
\(\angle BAK\) chung
\( \Rightarrow \Delta AEH\)~ \(\Delta AKB\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AK}} = \dfrac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AB.AE = AH.AK\)
Tương tự ta có \(\Delta AHD\)~ \(\Delta ACK\left( {g.g} \right) \Rightarrow AD.AC = AH.AK\)
Vậy \(AD.AC = AH.AK = AB.AE\left( {dpcm} \right)\)
c) Ta có \(\angle LDC = \angle ABC\) (do BEDC nội tiếp)
\(\angle DCL = \angle ABC = \dfrac{1}{2}sdcungAC\)
\( \Rightarrow \angle LDC = \angle DCL \Rightarrow \Delta LDC\) cân \( \Rightarrow LC = LD\)
Ta có \(\Delta LCG\)~ \(\Delta LNC\left( {g.g} \right) \Rightarrow L{C^2} = LG.LN \Rightarrow L{D^2} = LG.LN\)
\( \Rightarrow \Delta LDG\)~ \(\Delta LND\left( {c.g.c} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle LGD = \angle LDN\\ \Rightarrow \angle NDM = \angle NGB = \angle NBM\end{array}\)
\( \Rightarrow BMND\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle BNM = \angle BDE = \angle BCI = \angle BNI\)
Vậy M, I, N thẳng hàng.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
