a) Cho phương trình \({x^2} - 2(m + 1)x + 4m - 3 = 0\), với \(m\) là tham số. Tìm các giá trị của \(m\)

Câu hỏi số 722119:

Vận dụng

a) Cho phương trình \({x^2} - 2(m + 1)x + 4m - 3 = 0\), với \(m\) là tham số. Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) sao cho biểu thức \(S = x_1^2 + x_2^2 + \left( {1 + {x_1}} \right)\left( {1 + {x_2}} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Hộp sữa dạng hình trụ làm bằng giấy có nắp đậy với bán kính đáy bằng \(5\;{\rm{cm}}\), chiều cao bằng \(20\;{\rm{cm}}\). Biết giá của \(1\;{{\rm{m}}^2}\) giấy để làm hộp sữa là 30000 đồng. Tính chi phí giấy để sản xuất 1000 hộp sữa. (Lấy \(\pi = 3,14\) và các mép gấp không đáng kể).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722119

Phương pháp giải

a) Áp dụng hệ thức Vi-ét.

b) Áp dụng công thức \({S_{tp}} = 2\pi .{r^2}.h + 2\pi .{r^2}\).

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {4m - 3} \right).1 = {m^2} + 2m + 1 - 4m + 3 = {m^2} - 2m + 4 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 3 > 0\) \(\forall m\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Áp dụng định lí vi – et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = 4m - 3\end{array} \right.\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(S = x_1^2 + x_2^2 + \left( {1 + {x_1}} \right)\left( {1 + {x_2}} \right)\)

\(S = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 1 + {x_1}.{x_2} + {x_1} + {x_2}\)

\(S = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} + 1 + \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

Thay \(\left( 1 \right)\) vào phương trình ta có:

\(\begin{array}{l}S = 4{\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {4m - 3} \right) + 1 + 2\left( {m + 1} \right)\\S = 4{m^2} + 8m + 4 - 4m + 3 + 1 + 2m + 2\\S = 4{m^2} + 6m + 10\\S = 4{m^2} + 2.2.\dfrac{3}{2}m + \dfrac{9}{4} + \dfrac{{31}}{4}\\S = {\left( {2m + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{31}}{4} \ge \dfrac{{31}}{4}\forall m \in R\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ thất của \(S\) là \(\dfrac{{31}}{4}\)

Dấu xảy ra khi \(2m + \dfrac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow m = - \dfrac{3}{4}\).

b) Đổi \(5cm = 0,05m;20cm = 0,2m\)

Diện tích giấy làm một hộp sữa là: \({S_{tp}} = 2\pi .{r^2}.h + 2\pi .{r^2} = 2.\pi .0,{05^2}.0,2 + 2.\pi .0,{05^2} = 0,006\pi \left( {{m^2}} \right)\)

Để sản suất 1000 hộp sữa cần: \(0,006.3,14.1000 = 18,84\left( {{m^2}} \right)\)

Chi phí giấy để sản xuất 1000 hộp sữa là: \(18,84.30000 = 565200\)đồng

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link