Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh \(3,SA = SD =

Câu hỏi số 723153:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $3,SA = SD = 3$ , $SB = SC = 3\sqrt 3$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SA$ và $SD,P$ là một điểm thuộc cạnh $AB$ sao cho $AP = 2$ . Tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ .

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:723153

Giải chi tiết

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD//\left( {MNP} \right)}\\{AD \subset \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {ABCD} \right) \cap \left( {MNP} \right) = PQ}\end{array} \Rightarrow PQ//AD\left( {Q \in CD} \right)} \right.$ .

Thiết diện khối chóp cắt bởi mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ là hình thang $MNQP$ .

Do $\Delta SDC = \Delta SAB\left( {c - c - c} \right)$ nên $\Delta NDQ = \Delta MAP\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow NQ = MP$ .

Vậy là $MNQP$ hình thang cân.

Ta có ${\rm{cos}}\angle SAB = \dfrac{{S{A^2} + A{B^2} - S{B^2}}}{{2.SA.AB}} = \dfrac{{9 + 9 - 27}}{{2.3.3}} = \dfrac{{ - 1}}{2}$ .

$M{P^2} = M{A^2} + A{P^2} - 2.MA.AP.{\rm{cos}}\widehat {MAP} = \dfrac{9}{4} + 4 - 2.\dfrac{{3}}{2}.2.\dfrac{{ - 1}}{2} = \dfrac{{37}}{4} \Rightarrow MP = \dfrac{{\sqrt {37}}}{2}$ .

Từ $M$ kẻ $ME \bot PQ$ , từ $N$ kẻ $NF \bot PQ$ . Tứ giác $MNFE$ là hình chữ nhật nên

$MN = EF = \dfrac{{3}}{2} \Rightarrow PE = QF = \dfrac{{3}}{4} \Rightarrow ME = \sqrt {M{P^2} - P{E^2}} = \dfrac{{\sqrt {139} }}{4}$ .

Vậy diện tích thiết diện cần tìm là ${S_{MNQP}} = \dfrac{{\left( {MN + PQ} \right) \cdot ME}}{2} = \dfrac{\sqrt {139}}{{16}}=0,74$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.