Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(3,SA = SD =

Câu hỏi số 723153:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(3,SA = SD = 3\), \(SB = SC = 3\sqrt 3 \). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(SA\) và \(SD,P\) là một điểm thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(AP = 2\). Tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Xem lời giải

Câu hỏi:723153

Giải chi tiết

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD//\left( {MNP} \right)}\\{AD \subset \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {ABCD} \right) \cap \left( {MNP} \right) = PQ}\end{array} \Rightarrow PQ//AD\left( {Q \in CD} \right)} \right.\).

Thiết diện khối chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là hình thang \(MNQP\).

Do \(\Delta SDC = \Delta SAB\left( {c - c - c} \right)\) nên \(\Delta NDQ = \Delta MAP\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow NQ = MP\).

Vậy là \(MNQP\) hình thang cân.

Ta có \({\rm{cos}}\angle SAB = \dfrac{{S{A^2} + A{B^2} - S{B^2}}}{{2.SA.AB}} = \dfrac{{9 + 9 - 27}}{{2.3.3}} = \dfrac{{ - 1}}{2}\).

\(M{P^2} = M{A^2} + A{P^2} - 2.MA.AP.{\rm{cos}}\widehat {MAP} = \dfrac{9}{4} + 4 - 2.\dfrac{{3}}{2}.2.\dfrac{{ - 1}}{2} = \dfrac{{37}}{4} \Rightarrow MP = \dfrac{{\sqrt {37}}}{2}\).

Từ \(M\) kẻ \(ME \bot PQ\), từ \(N\) kẻ \(NF \bot PQ\). Tứ giác \(MNFE\) là hình chữ nhật nên

\(MN = EF = \dfrac{{3}}{2} \Rightarrow PE = QF = \dfrac{{3}}{4} \Rightarrow ME = \sqrt {M{P^2} - P{E^2}} = \dfrac{{\sqrt {139} }}{4}\).

Vậy diện tích thiết diện cần tìm là \({S_{MNQP}} = \dfrac{{\left( {MN + PQ} \right) \cdot ME}}{2} = \dfrac{\sqrt {139}}{{16}}=0,74\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.