Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R ( R không đổi). Lấy điểm C trên nửa đường tròn
Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R ( R không đổi). Lấy điểm C trên nửa đường tròn đó ( C không trùng với A, B ), kẻ CH⊥AB tại H, kẻ HM⊥AC tại M, kẻ HN⊥BC tại N.
a) Chứng minh rằng tứ giác CMHN nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và NMC đồng dạng với nhau.
c) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AH và HB, P là giao điểm của IN và KM. Chúng minh rằng HP⊥MN
d) Xác định vị trí điểm C để MK2+NI2 đạt giá trị lớn nhất.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Chứng minh rằng tứ giác CMHN nội tiếp đường tròn.
∠CMH=∠CNH=900(HM⊥AC,HN⊥BC)⇒∠CMH+∠CNH=900+900=1800
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác CMHN nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và NMC đồng dạng với nhau.
CMHN nội tiếp nên ∠CNM=∠CHM (cùng chắn CM)
∠CHM=∠CAH (cùng phụ ∠HCA)
⇒∠CNM=∠CAB
Kết hợp ∠ACB chung ⇒ΔCMN∼ΔCBA (g.g)
c) Ta có ∠HMN=∠HCN=900−∠ABC=∠BAC=∠IAM=∠IMA
Mà ∠IMA+∠IMH=∠AMH=900
⇒∠HMN+∠IMH=900⇒∠IMN=900
⇒IM⊥MN
Tương tự ta có KN⊥MN⇒KN∥IM
⇒IMNK=MPPK
Mà IM=IH,NK=KH⇒IMNK=IHHK⇒IHHK=MPPK⇒PH∥NK⇒PH⊥MN
d) Xác định vị trí điểm C để MK2+NI2 đạt giá trị lớn nhất.
MK2+NI2=MN2+NK2+MN2+MI2=2MN2+MI2+NK2=2CH2+AH24+HB24=2AH.BH+AH24+HB24=(AH2+BH2)2+32AH.BH=AB24+32AH.BH≤R2+32(AH+BH)24=52R2
Dấu “=” xảy ra khi AH = BH hay C là điểm chính giữa cung AB
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
