Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2R\) ( R không đổi). Lấy điểm C trên nửa đường tròn
Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2R\) ( R không đổi). Lấy điểm C trên nửa đường tròn đó ( C không trùng với A, B ), kẻ \(CH \bot AB\) tại H, kẻ \(HM \bot AC\) tại M, kẻ \(HN \bot BC\) tại N.
a) Chứng minh rằng tứ giác CMHN nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và NMC đồng dạng với nhau.
c) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AH và HB, P là giao điểm của IN và KM. Chúng minh rằng \(HP \bot MN\)
d) Xác định vị trí điểm C để \(M{K^2} + N{I^2}\) đạt giá trị lớn nhất.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Chứng minh rằng tứ giác CMHN nội tiếp đường tròn.
\(\begin{array}{l}\angle CMH = \angle CNH = {90^0}\left( {HM \bot AC,HN \bot BC} \right)\\ \Rightarrow \angle CMH + \angle CNH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\end{array}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác CMHN nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và NMC đồng dạng với nhau.
CMHN nội tiếp nên \(\angle CNM = \angle CHM\) (cùng chắn CM)
\(\angle CHM = \angle CAH\) (cùng phụ \(\angle HCA\))
\( \Rightarrow \angle CNM = \angle CAB\)
Kết hợp \(\angle ACB\) chung \( \Rightarrow \Delta CMN\sim\Delta CBA\) (g.g)
c) Ta có \(\angle HMN = \angle HCN = {90^0} - \angle ABC = \angle BAC = \angle IAM = \angle IMA\)
Mà \(\angle IMA + \angle IMH = \angle AMH = {90^0}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle HMN + \angle IMH = {90^0}\\ \Rightarrow \angle IMN = {90^0}\end{array}\)
\( \Rightarrow IM \bot MN\)
Tương tự ta có \(KN \bot MN \Rightarrow KN\parallel IM\)
\( \Rightarrow \dfrac{{IM}}{{NK}} = \dfrac{{MP}}{{PK}}\)
Mà \(IM = IH,NK = KH \Rightarrow \dfrac{{IM}}{{NK}} = \dfrac{{IH}}{{HK}} \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{HK}} = \dfrac{{MP}}{{PK}} \Rightarrow PH\parallel NK \Rightarrow PH \bot MN\)
d) Xác định vị trí điểm C để \(M{K^2} + N{I^2}\) đạt giá trị lớn nhất.
\(\begin{array}{l}M{K^2} + N{I^2} = M{N^2} + N{K^2} + M{N^2} + M{I^2} = 2M{N^2} + M{I^2} + N{K^2}\\ = 2C{H^2} + \dfrac{{A{H^2}}}{4} + \dfrac{{H{B^2}}}{4}\\ = 2AH.BH + \dfrac{{A{H^2}}}{4} + \dfrac{{H{B^2}}}{4}\\ = {\left( {\dfrac{{AH}}{2} + \dfrac{{BH}}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{2}AH.BH\\ = \dfrac{{A{B^2}}}{4} + \dfrac{3}{2}AH.BH\\ \le {R^2} + \dfrac{3}{2}\dfrac{{{{\left( {AH + BH} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{5}{2}{R^2}\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi AH = BH hay C là điểm chính giữa cung AB
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
