1) Cho parabol \((P):y = - {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = - (m + 2)x + m + 1\) (với \(m\) là

Câu hỏi số 724046:

Vận dụng

1) Cho parabol \((P):y = - {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = - (m + 2)x + m + 1\) (với \(m\) là tham số).

a) Tìm \(m\) để đường thẳng \((d)\) đi qua điểm \(A(2;0)\).

b) Tìm \(m\) để đường thẳng \(({\rm{d}})\) cắt parabol \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân.

2) Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + my = 1}\\{mx - y = - m}\end{array}} \right.\) (với \(m\) là tham số).

a) Giải hệ phương trình khi \(m = 1\).

b) Tìm\(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y)\) thỏa mãn \(y = \sqrt {x + 1} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:724046

Phương pháp giải

a) Thay toạ độ điểm \(A(2;0)\) vào phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\).

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm.

a) Thay \(m = 1\) vào hệ phương trình.

b) Sử dụng phương pháp thế.

Giải chi tiết

a) Thay toạ độ điểm \(A(2;0)\) vào phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) ta có:

\((d):0 = - (m + 2).2 + m + 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2m - 4 + m + 1 = 0\\ \Leftrightarrow m = 3\end{array}\)

Vậy với \(m = 3\) thì đường thẳng \((d)\) đi qua điểm \(A(2;0)\).

b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(({\rm{d}})\) cắt parabol \((P)\) là nghiệm của phương trình \( - (m + 2)x + m + 1 = - {x^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - (m + 2)x + m + 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x - (m + 1)x + m + 1 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) - (m + 1)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {x - \left( {m + 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = m + 1\end{array} \right.\end{array}\)

Điều kiện \(m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1\)

TH1: \(1 > m + 1 \Leftrightarrow m < 0\)

Để \({x_1},{x_2}\) là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân thì \(\left( {m + 1} \right)\) là độ dài cạnh góc vuông

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 = \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2} + {{\left( {m + 1} \right)}^2}} = \sqrt {2{{\left( {m + 1} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow 1 = 2{m^2} + 4m + 2\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{ - 2 + \sqrt 2 }}{2}\left( {tm} \right)\\m = \dfrac{{ - 2 - \sqrt 2 }}{2}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

TH 2: \(m + 1 > 1 \Leftrightarrow m > 0\)

Để \({x_1},{x_2}\) là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân thì 1 là độ dài cạnh góc vuông, \(\left( {m + 1} \right)\) là độ dài cạnh huyền.

\( \Leftrightarrow {1^2} + {1^2} = {\left( {m + 1} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 1 = 0\\\left[ \begin{array}{l}m = - 1 + \sqrt 2 \left( {tm} \right)\\m = - 1 - \sqrt 2 \left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có hai giá trị của \(m\) thoả mãn \(\left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{ - 2 + \sqrt 2 }}{2}\\m = - 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.\)

2) Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + my = 1}\\{mx - y = - m}\end{array}} \right.\) (với \(m\) là tham số).

a) Giải hệ phương trình khi \(m = 1\).

Với \(m = 1\) ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 1}\\{x - y = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x = 0}\\{x + y = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\). Vậy \(\left( {x,y} \right) = \left( {0;1} \right)\)

b) Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y)\) thỏa mãn \(y = \sqrt {x + 1} \).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + my = 1}\\{mx - y = - m}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + m\left( {mx + m} \right) = 1}\\{y = mx + m}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{m^2} + 1} \right)x = 1 - {m^2}}\\{y = mx + m}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất với \(\forall m \in \mathbb{R}\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{m^2} + 1} \right)x = 1 - {m^2}}\\{y = mx + m}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}}\\{y = m \cdot \dfrac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}} + m}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}}\\{y = \dfrac{{2m}}{{{m^2} + 1}}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Để \(y = \sqrt {x + 1} \Leftrightarrow \dfrac{{2m}}{{{m^2} + 1}} = \sqrt {\dfrac{2}{{{m^2} + 1}}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 0}\\{\dfrac{{4{m^2}}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{2}{{{m^2} + 1}}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 0}\\{\dfrac{{2{m^2}}}{{{m^2} + 1}} = 1}\end{array} \Leftrightarrow m = 1\left( {t/m} \right)} \right.\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link