Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
1) Cho parabol \((P):y = - {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = - (m + 2)x + m + 1\) (với \(m\) là
1) Cho parabol \((P):y = - {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = - (m + 2)x + m + 1\) (với \(m\) là tham số).
a) Tìm \(m\) để đường thẳng \((d)\) đi qua điểm \(A(2;0)\).
b) Tìm \(m\) để đường thẳng \(({\rm{d}})\) cắt parabol \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân.
2) Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + my = 1}\\{mx - y = - m}\end{array}} \right.\) (với \(m\) là tham số).
a) Giải hệ phương trình khi \(m = 1\).
b) Tìm\(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y)\) thỏa mãn \(y = \sqrt {x + 1} \).
Quảng cáo
1)
a) Thay toạ độ điểm \(A(2;0)\) vào phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\).
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm.
2)
a) Thay \(m = 1\) vào hệ phương trình.
b) Sử dụng phương pháp thế.
1)
a) Thay toạ độ điểm \(A(2;0)\) vào phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) ta có:
\((d):0 = - (m + 2).2 + m + 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2m - 4 + m + 1 = 0\\ \Leftrightarrow m = 3\end{array}\)
Vậy với \(m = 3\) thì đường thẳng \((d)\) đi qua điểm \(A(2;0)\).
b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(({\rm{d}})\) cắt parabol \((P)\) là nghiệm của phương trình \( - (m + 2)x + m + 1 = - {x^2}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - (m + 2)x + m + 1 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x - (m + 1)x + m + 1 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) - (m + 1)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {x - \left( {m + 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = m + 1\end{array} \right.\end{array}\)
Điều kiện \(m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1\)
TH1: \(1 > m + 1 \Leftrightarrow m < 0\)
Để \({x_1},{x_2}\) là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân thì \(\left( {m + 1} \right)\) là độ dài cạnh góc vuông
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 = \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2} + {{\left( {m + 1} \right)}^2}} = \sqrt {2{{\left( {m + 1} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow 1 = 2{m^2} + 4m + 2\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{ - 2 + \sqrt 2 }}{2}\left( {tm} \right)\\m = \dfrac{{ - 2 - \sqrt 2 }}{2}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
TH 2: \(m + 1 > 1 \Leftrightarrow m > 0\)
Để \({x_1},{x_2}\) là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân thì 1 là độ dài cạnh góc vuông, \(\left( {m + 1} \right)\) là độ dài cạnh huyền.
\( \Leftrightarrow {1^2} + {1^2} = {\left( {m + 1} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 1 = 0\\\left[ \begin{array}{l}m = - 1 + \sqrt 2 \left( {tm} \right)\\m = - 1 - \sqrt 2 \left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy có hai giá trị của \(m\) thoả mãn \(\left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{ - 2 + \sqrt 2 }}{2}\\m = - 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.\)
2) Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + my = 1}\\{mx - y = - m}\end{array}} \right.\) (với \(m\) là tham số).
a) Giải hệ phương trình khi \(m = 1\).
Với \(m = 1\) ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 1}\\{x - y = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x = 0}\\{x + y = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\). Vậy \(\left( {x,y} \right) = \left( {0;1} \right)\)
b) Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y)\) thỏa mãn \(y = \sqrt {x + 1} \).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + my = 1}\\{mx - y = - m}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + m\left( {mx + m} \right) = 1}\\{y = mx + m}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{m^2} + 1} \right)x = 1 - {m^2}}\\{y = mx + m}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất với \(\forall m \in \mathbb{R}\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{m^2} + 1} \right)x = 1 - {m^2}}\\{y = mx + m}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}}\\{y = m \cdot \dfrac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}} + m}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}}\\{y = \dfrac{{2m}}{{{m^2} + 1}}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Để \(y = \sqrt {x + 1} \Leftrightarrow \dfrac{{2m}}{{{m^2} + 1}} = \sqrt {\dfrac{2}{{{m^2} + 1}}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 0}\\{\dfrac{{4{m^2}}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{2}{{{m^2} + 1}}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 0}\\{\dfrac{{2{m^2}}}{{{m^2} + 1}} = 1}\end{array} \Leftrightarrow m = 1\left( {t/m} \right)} \right.\).
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
