Cho hình chóp OABC có 3 cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau đôi một tại O,OB= a, OC = a√3 và OA = a√3 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. 1.Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC). 2.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB vàOM.

Câu hỏi số 7249:

A. d(O,(ABC)) = $\frac{a\sqrt{5}}{7}$ ; d(AB;OM) = $\frac{a\sqrt{15}}{3}$

B. d(O,(ABC)) = $\frac{a\sqrt{5}}{6}$ ; d(AB;OM) = $\frac{a\sqrt{15}}{7}$

C. d(O,(ABC)) = $\frac{a\sqrt{5}}{5}$ ; d(AB;OM) = $\frac{a\sqrt{15}}{5}$

D. d(O,(ABC)) = $\frac{a\sqrt{5}}{3}$ ; d(AB;OM) = $\frac{a\sqrt{15}}{6}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:7249

Giải chi tiết

Trong tam giác OBC, vẽ đường cao OK

Trong tam giác OAK, vẽ đường cao OH

Chứng minh OH vuông góc với mp(ABC)

$\frac{1}{OH^{2}}$ = $\frac{1}{OA^{2}}$ + $\frac{1}{OK^{2}}$ = $\frac{1}{OA^{2}}$ + $\frac{1}{OB^{2}}$ + $\frac{1}{OC^{2}}$ = $\frac{5}{a^{2}}$

Suy ra d(O,(ABC)) = OH = $\frac{a\sqrt{5}}{5}$

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó O(0;0;0), A(0;0; a√3); B(0; ; ) ; C (0; a√3; 0), M( $\frac{a}{2}$ ; $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ ; 0) => N(0; $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ ; $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ )

$\overrightarrow{OM}$ = ( $\frac{a}{2}$ ; $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ ; 0), $\overrightarrow{ON}$ = (0; $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ ; $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ )

[ $\overrightarrow{OM}$ ; $\overrightarrow{ON}$ ] = ( $\frac{3a^{2}}{4}$ ; $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ ; $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ ),

$\vec{n}$ = (√3;1;1) là VTPT của mặt phẳng (OMN)

Phương trình mặt phẳng ( OMN) qua O với vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ : √3x + y + z = 0

Ta có: d(B;(OMN)) = $\frac{|\sqrt{3}.a+0+0|}{\sqrt{3+1+1}}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ = $\frac{a\sqrt{15}}{5}$ .

Vậy : d(B;(NOM)) = $\frac{a\sqrt{15}}{5}$

MN là đường trung bình của tam giác ABC => AB//MN =>AB//(OMN) =>d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(NOM)) = $\frac{a\sqrt{15}}{5}$ .

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.