Giải phương trình \({x^2} + \dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1\).

Câu hỏi số 725331:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:725331

Phương pháp giải

Biến đổi \({x^2} + \dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}} \right)^2} + \dfrac{{2{x^2}}}{{x + 1}}\) sau đó đặt ẩn phụ \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} = t\).

Giải chi tiết

ĐK: \(x \ne - 1\).

Ta có: \({x^2} + \dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {\left( {x - \dfrac{x}{{x + 1}}} \right)^2} + 2\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} = {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}} \right)^2} + \dfrac{{2{x^2}}}{{x + 1}}\).

Khi đó phương trình trở thành \({\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}} \right)^2} + \dfrac{{2{x^2}}}{{x + 1}} = 1\).

Đặt \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} = t\) ta có phương trình \({t^2} + 2t = 1 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 1 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\).

\({\Delta _t}^\prime = {1^2} + 1 = 2 > 0 \Rightarrow \left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t_1} = - 1 + \sqrt 2 }\\{{t_2} = - 1 - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\).

Với \({t_1} = - 1 + \sqrt 2 \) ta có: \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} = {\rm{\;}} - 1 + \sqrt 2 {\rm{\;}} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {1 - \sqrt 2 } \right)x + 1 - \sqrt 2 {\rm{\;}} = 0\).

\(\Delta {\rm{\;}} = {\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^2} - 4\left( {1 - \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 {\rm{\;}} - 1 > 0\)

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = \dfrac{{\sqrt 2 {\rm{\;}} - 1 + \sqrt {2\sqrt 2 {\rm{\;}} - 1} }}{2}}\\{{x_2} = \dfrac{{\sqrt 2 {\rm{\;}} - 1 - \sqrt {2\sqrt 2 {\rm{\;}} - 1} }}{2}}\end{array}} \right.\)

Với \({t_1} = - 1 - \sqrt 2 \) ta có: \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} = {\rm{\;}} - 1 - \sqrt 2 {\rm{\;}} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {\sqrt 2 {\rm{\;}} + 1} \right)x + \sqrt 2 {\rm{\;}} + 1 = 0\).

\(\Delta {\rm{\;}} = {\left( {\sqrt 2 {\rm{\;}} + 1} \right)^2} - 4\left( {\sqrt 2 {\rm{\;}} + 1} \right) = {\rm{\;}} - 1 - 2\sqrt 2 {\rm{\;}} < 0 \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = \dfrac{{\sqrt 2 {\rm{\;}} - 1 + \sqrt {2\sqrt 2 {\rm{\;}} - 1} }}{2}}\\{{x_2} = \dfrac{{\sqrt 2 {\rm{\;}} - 1 - \sqrt {2\sqrt 2 {\rm{\;}} - 1} }}{2}}\end{array}} \right.\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link