Cho phương trình: \({x^2} + \dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 3,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern

Câu hỏi số 725332:

Vận dụng

Cho phương trình: \({x^2} + \dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 3,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} S\) là tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho. Tính \(S\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:725332

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình, đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}.\)

Đặt \(t = \dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}.\) Giải phương trình ẩn t, sau đó thế lại tìm ẩn x.

Giải chi tiết

\({x^2} + \dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\)

Điều kiện: \(x \ne {\rm{\;}} - 1.\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x.\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + 2x.\dfrac{x}{{x + 1}} - 3 = 0}\\{{{\left( {x - \dfrac{x}{{x + 1}}} \right)}^2} + \dfrac{{2{x^2}}}{{x + 1}} - 3 = 0}\\{{{\left( {\dfrac{{{x^2} + x - x}}{{x + 1}}} \right)}^2} + \dfrac{{2{x^2}}}{{x + 1}} - 3 = 0}\\{{\mkern 1mu} {{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}} \right)}^2} + \dfrac{{2{x^2}}}{{x + 1}} - 3 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)}\end{array}\)

Đặt \(t = \dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\;\left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0\\\left( {t - 1} \right)\left( {t + 3} \right) = 0\end{array}\)

\(\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t - 1 = 0}\\{t + 3 = 0}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = - 3}\end{array}} \right.\)

Khi đó \(\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} = 1}\\{\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} = - 3}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = x + 1}\\{{x^2} = - 3x - 3}\end{array}} \right.\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{(1)}\\{(2)}\end{array}\)

Từ phương trình (1) ta xác định được \(x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\); \(x = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\)

Phương trình (2) vô nghiệm.

\(\; \Rightarrow S = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} + \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2} = 1\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link