Cho phương trình \(\dfrac{{2x}}{{3{x^2} - x + 2}} - \dfrac{{7x}}{{3{x^2} + 5x + 2}} = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}

Câu hỏi số 725333:

Vận dụng

Cho phương trình \(\dfrac{{2x}}{{3{x^2} - x + 2}} - \dfrac{{7x}}{{3{x^2} + 5x + 2}} = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right).\) Gọi \(S\) là tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right).\) Tính giá trị của \(S\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:725333

Phương pháp giải

Xét \(x = 0\) không phải nghiệm của phương trình, ta chia cả tử và mẫu của \(2\) phân số vế trái cho \(x\) để xuất hiện ẩn phụ.

Đặt \(t = 3x + \dfrac{2}{x}\), đưa phương trình về phương trình bậc hai với ẩn \(t\).

Giải chi tiết

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{x^2} - x + 2 \ne 0}\\{3{x^2} + 5x + 2 \ne 0}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne {\rm{\;}} - 1}\\{x \ne {\rm{\;}} - \dfrac{2}{3}}\end{array}} \right.\)

Xét \(x = 0\) không phải nghiệm của phương trình

Xét \(x \ne 0\) ta có:

\(\dfrac{{2x}}{{3{x^2} - x + 2}} - \dfrac{{7x}}{{3{x^2} + 5x + 2}} = 1\)

\(\dfrac{2}{{3x - 1 + \dfrac{2}{x}}} - \dfrac{7}{{3x + 5 + \dfrac{2}{x}}} = 1\)

Đặt \(t = 3x + \dfrac{2}{x}\) ta được: \(\dfrac{2}{{t - 1}} - \dfrac{7}{{t + 5}} = 1\) \( \Rightarrow 2\left( {t + 5} \right) - 7\left( {t - 1} \right) = \left( {t - 1} \right)\left( {t + 5} \right)\)

\(\begin{array}{l}2t + 10 - 7t + 7 = {t^2} + 5t - t - 5\\{t^2} + 9t - 22 = 0\end{array}\)

\(\left( {t - 2} \right)\left( {t + 11} \right) = 0\) suy ra \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 2}\\{t = {\rm{\;}} - 11}\end{array}} \right.\)

+) Nếu \(t = 2:\)

\(3x + \dfrac{2}{x} = 2\)

\(3{x^2} - 2x + 2 = 0\)

\(2{x^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 = 0\) (Vô nghiệm)

+) Nếu \(t = - 11:\)

\(3x + \dfrac{2}{x} = - 11\)

\(3{x^2} + 11x + 2 = 0\)

\(x = \dfrac{{ - 11 \pm \sqrt {97} }}{6}\) (Thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có \(2\) nghiệm \(x = \dfrac{{ - 11 \pm \sqrt {97} }}{6}\)

Suy ra tổng \(2\) nghiệm \(S = \dfrac{{ - 11}}{3}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link