Cho phương trình \(\dfrac{{2x}}{{3{x^2} - x + 2}} - \dfrac{{7x}}{{3{x^2} + 5x + 2}} = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}

Câu hỏi số 725333:

Vận dụng

Cho phương trình \(\dfrac{{2x}}{{3{x^2} - x + 2}} - \dfrac{{7x}}{{3{x^2} + 5x + 2}} = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right).\) Gọi \(S\) là tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right).\) Tính giá trị của \(S\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:725333

Phương pháp giải

Xét \(x = 0\) không phải nghiệm của phương trình, ta chia cả tử và mẫu của \(2\) phân số vế trái cho \(x\) để xuất hiện ẩn phụ.

Đặt \(t = 3x + \dfrac{2}{x}\), đưa phương trình về phương trình bậc hai với ẩn \(t\).

Giải chi tiết

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{x^2} - x + 2 \ne 0}\\{3{x^2} + 5x + 2 \ne 0}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne {\rm{\;}} - 1}\\{x \ne {\rm{\;}} - \dfrac{2}{3}}\end{array}} \right.\)

Xét \(x = 0\) không phải nghiệm của phương trình

Xét \(x \ne 0\) ta có:

\(\dfrac{{2x}}{{3{x^2} - x + 2}} - \dfrac{{7x}}{{3{x^2} + 5x + 2}} = 1\)

\(\dfrac{2}{{3x - 1 + \dfrac{2}{x}}} - \dfrac{7}{{3x + 5 + \dfrac{2}{x}}} = 1\)

Đặt \(t = 3x + \dfrac{2}{x}\) ta được: \(\dfrac{2}{{t - 1}} - \dfrac{7}{{t + 5}} = 1\) \( \Rightarrow 2\left( {t + 5} \right) - 7\left( {t - 1} \right) = \left( {t - 1} \right)\left( {t + 5} \right)\)

\(\begin{array}{l}2t + 10 - 7t + 7 = {t^2} + 5t - t - 5\\{t^2} + 9t - 22 = 0\end{array}\)

\(\left( {t - 2} \right)\left( {t + 11} \right) = 0\) suy ra \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 2}\\{t = {\rm{\;}} - 11}\end{array}} \right.\)

+) Nếu \(t = 2:\)

\(3x + \dfrac{2}{x} = 2\)

\(3{x^2} - 2x + 2 = 0\)

\(2{x^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 = 0\) (Vô nghiệm)

+) Nếu \(t = - 11:\)

\(3x + \dfrac{2}{x} = - 11\)

\(3{x^2} + 11x + 2 = 0\)

\(x = \dfrac{{ - 11 \pm \sqrt {97} }}{6}\) (Thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có \(2\) nghiệm \(x = \dfrac{{ - 11 \pm \sqrt {97} }}{6}\)

Suy ra tổng \(2\) nghiệm \(S = \dfrac{{ - 11}}{3}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link