Cả hai xã \(A,B\) cùng ở một bên bờ sông Cấm, khoảng cách từ hai

Câu hỏi số 728745:

Vận dụng

Cả hai xã \(A,B\) cùng ở một bên bờ sông Cấm, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là \(AA' = 500\;{\rm{m}},BB' = 600\;{\rm{m}}\) và người ta đo được \(A'B' = 2200\;{\rm{m}}\) (Hinh vẽ). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Cấm cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí \(M\) của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn \(A'B'\) sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí \(M\) là nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó có dạng \(a\sqrt b (a,b \in \mathbb{R})\). Tính \(a - 20b\).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1000

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:728745

Giải chi tiết

Tổng khoảng cách từ điểm \(M\) đến hai vị trí \(A,B\) là \(T = MA + MB\).

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của \(T\)

Gọi \({A_1}\) là điểm đối xứng của \(A\) qua đường thẳng \(A'B'\)

Khi đó: \(T = MA + MB = M{A_1} + MB \ge {A_1}B\). Dấu “=” xảy ra khi \(M = {A_1}B \cap A'B'\).

Suy ra GTNN của \(T\) bằng \({A_1}B\).

Đường thẳng đi qua \({A_1}\) vuông góc với \(BB'\) và cắt \(BB'\) tại \({B_1}\)

Dễ thấy tứ giác \(A'{A_1}{B_1}B'\) là hình chữ nhật từ đó ta tính được:

\({A_1}{B_1} = 2200m,\,B'{B_1} = A'{A_1} = AA' = 500m,\,B{B_1} = B'{B_1} + BB' = 1100m\)

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông \({A_1}{B_1}B\), ta có:

\({A_1}B = \sqrt {{A_1}{B_1}^2 + B{B_1}^2} = \sqrt {{{2200}^2} + {{1100}^2}} = 1100\sqrt 5 \,(m)\)

Suy ra \(a = 1100,\,b = 5\). Vậy \(a - 20b = 1100 - 20.5 = 1000\).

Đáp án cần điền là: 1000

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.