Từ một tấm bìa mỏng hình vuông cạnh \(6\,dm\), bạn Hoa cắt bỏ bốn tam giác

Câu hỏi số 738704:

Vận dụng

Từ một tấm bìa mỏng hình vuông cạnh \(6\,dm\), bạn Hoa cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình vuông ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình vuông nhỏ phía trong rồi gập lên, ghép lại tạo thành một khối chóp tứ giác đều (Hình 7).

Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:738704

Giải chi tiết

Gọi cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều là \(x\,\left( {{\rm{dm}}} \right)\) với \(0 < x < 6\sqrt 2 \) như hình bên.

Ta có: \(AH = \dfrac{{AC - HK}}{2}\)\( = 3\sqrt 2 - \dfrac{x}{2}\).

Đường cao của hình chóp tứ giác đều là: \(h = \sqrt {A{H^2} - O{H^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2 - \dfrac{x}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {18 - 3\sqrt 2 x} \).

Thể tích khối chóp là: \(V = \dfrac{1}{3}h{x^2}\)\( = \dfrac{1}{3}{x^2}\sqrt {18 - 3\sqrt 2 x} \)\( = \dfrac{1}{3}\sqrt {{x^4}\left( {18 - 3\sqrt 2 x} \right)} \).

Để tìm giá trị lớn nhất của \(V\), ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4}\left( {18 - 3\sqrt 2 x} \right)\) với \(0 < x < 6\sqrt 2 \).

Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^3}\left( { - 15\sqrt 2 x + 72} \right)\), \(f'\left( x \right) = 0\) khi \(x = 0\) hoặc \(x = \dfrac{{12\sqrt 2 }}{5}\).

Bảng biến thiên của \(f\left( x \right)\) như sau

Từ bảng biến thiên ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;6\sqrt 2 } \right)} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{{12\sqrt 2 }}{5}} \right) \approx 477,75\) tại \(x = \dfrac{{12\sqrt 2 }}{5}\).

Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng \({V_{\max }} = \dfrac{1}{3}\sqrt {{{\left( {\dfrac{{12\sqrt 2 }}{5}} \right)}^4}\left( {18 - 3\sqrt 2 .\dfrac{{12\sqrt 2 }}{5}} \right)} \approx 7,3\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Đáp số: \(7,3\).

Đáp án cần điền là: 7,3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.