Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x

Câu hỏi số 739482:

Thông hiểu

Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}} \right):\dfrac{{\sqrt x - 1}}{x}\,\,\left( {x > 0,\,\,x \ne 1} \right)\)1) Rút gọn biểu thức \(A\)

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(B = A - 2\sqrt x \)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:739482

Phương pháp giải

1) Quy đồng và rút gọn.

2) Phân tích B, đưa về hằng đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

1) ĐKXĐ: \(x > 0,\,\,x \ne 1\)

\(A = \left( {\dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}} \right):\dfrac{{\sqrt x - 1}}{x}\)

\(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x (\sqrt x + 1)}}} \right):\dfrac{{\sqrt x - 1}}{x}\)

\(A = \left( {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right):\dfrac{{\sqrt x - 1}}{x}\)

\(A = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x }}.\dfrac{x}{{\sqrt x - 1}}\)

\(A = \dfrac{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)}}{{\sqrt x }}.\dfrac{x}{{\sqrt x - 1}}\)

\(A = \sqrt x (\sqrt x + 1) = x + \sqrt x \)

Vậy \(A = x + \sqrt x \) với \(x > 0,\,\,x \ne 1\)

2) Ta có:

\(B = A - 2\sqrt x \)

\(B = x + \sqrt x - 2\sqrt x \)

\(B = x - \sqrt x \)

\(B = x - \sqrt x + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4}\)

\(B = {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{4} \ge - \dfrac{1}{4},\,\,\forall x > 0,x \ne 1\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt x = \dfrac{1}{2}\) hay \(x = \dfrac{1}{4}\) (tmđk)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(B\) là \( - \dfrac{1}{4}\) khi \(x = \dfrac{1}{4}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link