Một công ty xây dựng đang lên kế hoạch thiết kế một sân khấu ngoài

Câu hỏi số 742892:

Vận dụng

Một công ty xây dựng đang lên kế hoạch thiết kế một sân khấu ngoài trời hình thang để tổ chức các sự kiện. Trên mặt đất, ba vị trí cố định đã được xác định với $A(-2 ; 3 ; 1)$ là vị trí đặt màn hình ti vi lớn số 1, $B(2 ; 1 ; 0)$ là vị trí đặt màn hình ti vi lớn số 2, $C(-3 ;-1 ; 1)$ là vị trí góc của khu vực khán giả. Kiến trúc sư cần xác định vị trí $D\left( a,b,c \right)$ để đặt hệ thống chiếu sáng sao cho ABCD là hình thang với đáy là đoạn AD và diện tích của khu vực ABCD phải gấp 3 lần diện tích tam giác ABC. Tính $abc$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:742892

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính diện tích hình thang và diện tích tam giác, biến đổi để được mối liên hệ giữa các vectơ, từ đó tìm được tọa độ điểm $D$.

Giải chi tiết

$\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}\left( {AD + BC} \right).d\left( {A,BC} \right)\\ \Leftrightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}\left( {AD + BC} \right).\dfrac{{{S_{ABC}}}}{{BC}}\\ \Leftrightarrow 3{S_{ABC}} = \dfrac{{\left( {AD + BC} \right).{S_{ABC}}}}{{BC}}\\ \Leftrightarrow 3BC = AD + BC\end{array}\\{ \Leftrightarrow AD = 2BC}\end{array}$

Mà ABCD là hình thang có đáy AD nên $\overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = 2\overrightarrow {BC} $

$\overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} = \left( { - 5; - 2;1} \right);\overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = \left( {{x_D} + 2;{y_D} - 3;{z_D} - 1} \right)$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_D} + 2 = {\rm{ \;}} - 10}\\{{y_D} - 3 = {\rm{ \;}} - 4}\\{{z_D} - 1 = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_D} = {\rm{ \;}} - 12}\\{{y_D} = {\rm{ \;}} - 1}\\{{z_D} = 3}\end{array}} \right.$

Vậy $D\left( { - 12; - 1;3} \right)$

Vậy $abc = 12.3 = 36$.

Đáp án cần điền là: 36

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.