Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 9}}\) và \(B = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} -

Câu hỏi số 746063:

Vận dụng

Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 9}}\) và \(B = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \dfrac{{9\sqrt x - 10}}{{4 - x}}\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\)

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = \sqrt {{{(\sqrt 3 - 1)}^2}} + \sqrt {{{(\sqrt 3 - 2)}^2}} \)

2) Rút gọn biểu thức \(B\)

3) Cho \(P = B:A\). Tìm các giá trị \(x\) là số thực để \(P\) có giá trị là một số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:746063

Phương pháp giải

1) Áp dụng \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) để rút gọn \(x\), từ đó thay \(x\) vào biểu thức A để tính giá trị.

2) Quy đồng với mẫu thức chung là \((\sqrt x + 2)(\sqrt x - 2)\) và rút gọn.

3) Tìm P và dựa vào điều kiện để xác định \(1 < P \le \dfrac{9}{2}\). Từ đó tìm P và suy ra \(x\).

Giải chi tiết

1) Ta có: \(x = \sqrt {{{(\sqrt 3 - 1)}^2}} + \sqrt {{{(\sqrt 3 - 2)}^2}} = \left| {\sqrt 3 - 1} \right| + \left| {\sqrt 3 - 2} \right| = \sqrt 3 - 1 + 2 - \sqrt 3 = 1\)

Thay \(x = 1\) (tmđk) vào \(A\) ta được \(A = \dfrac{{1 - 2}}{{1 + 9}} = \dfrac{{ - 1}}{{10}}\)

2) ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\)

\(B = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \dfrac{{9\sqrt x - 10}}{{4 - x}}\)

\(B = \dfrac{{3(2 - \sqrt x )}}{{(2 - \sqrt x )(2 + \sqrt x )}} - \dfrac{{\sqrt x (2 + \sqrt x )}}{{(2 - \sqrt x )(2 + \sqrt x )}} + \dfrac{{9\sqrt x - 10}}{{(2 - \sqrt x )(2 + \sqrt x )}}\)

\(B = \dfrac{{3(2 - \sqrt x ) - \sqrt x (2 + \sqrt x ) + 9\sqrt x - 10}}{{(2 + \sqrt x )(2 - \sqrt x )}}\)

\(B = \dfrac{{6 - 3\sqrt x - 2\sqrt x - x + 9\sqrt x - 10}}{{(2 + \sqrt x )(2 - \sqrt x )}}\)

\(B = \dfrac{{ - x + 4\sqrt x - 4}}{{(2 + \sqrt x )(2 - \sqrt x )}}\)

\(B = \dfrac{{ - {{(2 - \sqrt x )}^2}}}{{(2 + \sqrt x )(2 - \sqrt x )}}\)

\(B = \dfrac{{ - (2 - \sqrt x )}}{{2 + \sqrt x }}\)

\(B = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\)

Vậy \(B = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\)

3) Ta có:

\(P = B:A = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}:\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 9}} = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} \cdot \dfrac{{\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 2}} = \dfrac{{\sqrt x + 9}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \dfrac{7}{{\sqrt x + 2}}\)

Ta có: \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\) nên \(\sqrt x + 2 \ge 2 > 0\)

Khi đó: \(0 < \dfrac{7}{{\sqrt x + 2}} \le \dfrac{7}{2}\) suy ra \(1 < 1 + \dfrac{7}{{\sqrt x + 2}} \le \dfrac{9}{2}\) hay \(1 < P \le \dfrac{9}{2}\)

Mà \(P\) là số chính phương nên \(P = 4\)

Suy ra:

\(\dfrac{{\sqrt x + 9}}{{\sqrt x + 2}} = 4\)

\(\sqrt x + 9 = 4\sqrt x + 8\)

\(3\sqrt x = 1\)

\(x = \dfrac{1}{9}\,\,(tm)\)

Vậy \(x = \dfrac{1}{9}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link