Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 3 \). Gọi
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 3 \). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB,SC\). Biết mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Tính thể tích của khối chóp \(A.BCNM\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\) \( \Rightarrow \) \(BC \bot SH\) (do \(\Delta SBC\) cân tại \(S\)).
Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) và \(I = SH \cap MN\).
Do \(S.ABC\) là chóp đều \( \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right)\).
Ta có: \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta SBC \Rightarrow MN//BC \Rightarrow MN \bot SH\) tại \(I\).
Vậy: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AMN} \right) \bot \left( {SBC} \right)\\\left( {AMN} \right) \cap \left( {SBC} \right) = MN\\SH \bot MN,SH \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {AMN} \right) \Rightarrow SH \bot AI\).
Lại có \(I\) là trung điểm \(SH\) (do \(I \in MN\)) \( \Rightarrow AI\) là đường trung tuyến \(\Delta SAH\).
Suy ra \(\Delta SAH\) cân tại \(A \Rightarrow SA = AH = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a}}{2}\).
Xét \(\Delta SGA\) vuông tại \(G\): \(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{2}{3}.\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Mặt khác: \(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{MNABC}} = \dfrac{3}{4}{V_{S.ABC}} = \dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{3}.SG.\dfrac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt {15} }}{{32}}{a^3}\).
Đáp án cần chọn là: C
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
