Giả sử hàm số \(y = f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \((0; + \infty )\)

Câu hỏi số 757923:

Vận dụng

Giả sử hàm số \(y = f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \((0; + \infty )\) và thỏa mãn \(f(1) = 1\), \(f(x) = f'(x) \cdot \sqrt {3x + 1} \), với mọi \(x > 0\). Giá trị \(f(5)\) bằng bao nhiêu (lấy kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 3,794

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:757923

Phương pháp giải

Biến đổi \(f(x) = f'(x) \cdot \sqrt {3x + 1} \Leftrightarrow \dfrac{{f'(x)}}{{f(x)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}\) và lấy nguyên hàm hai vế tìm f(x).

Giải chi tiết

Hàm số \(y = f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \((0; + \infty )\) nên

\(\begin{array}{l}f(x) = f'(x) \cdot \sqrt {3x + 1} \Leftrightarrow \dfrac{{f'(x)}}{{f(x)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}\\ \Rightarrow \ln (f(x)) = \dfrac{2}{3}\sqrt {3x + 1} + C\,\,\left( {do\,\,f\left( x \right) > 0\,\,\forall x > 0} \right)\end{array}\)

Thay x = 1 \( \Rightarrow \ln \left( {f\left( 1 \right)} \right) = \dfrac{2}{3}.2 + C \Leftrightarrow \ln 1 = \dfrac{4}{3} + C \Leftrightarrow C = - \dfrac{4}{3}\)

\( \Rightarrow \ln \left( {f\left( x \right)} \right) = \dfrac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \dfrac{4}{3} \Rightarrow f(x) = {{\rm{e}}^{\dfrac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \dfrac{4}{3}}}\).

Vậy \(f(5) = {{\rm{e}}^{\dfrac{4}{3}}} \approx 3,794\).

Đáp án cần điền là: 3,794

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.