Giải phương trình \(\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + x = \sqrt {{x^3} - 2} \)

Câu hỏi số 759424:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:759424

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ

- Ta thấy phương trình có nghiệm \(x = - 1,\,\,x = 2\) nên có nhân tử \({x^2} - x - 2\)

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \ge \sqrt[3]{2}\)

Ta có:

\(\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} - 2 + x - 3 = \sqrt {{x^3} - 2} - 5\)

\(\dfrac{{{x^2} - 9}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 4}} + x - 3 = \dfrac{{{x^3} - 27}}{{\sqrt {{x^3} - 2} + 5}}\)

\((x - 3)\left[ {\dfrac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 4}} + 1 - \dfrac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\sqrt {{x^3} - 2} + 5}}} \right] = 0\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\\dfrac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 4}} + 1 - \dfrac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\sqrt {{x^3} - 2} + 5}} = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

Ta sẽ chứng minh: \(\dfrac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 4}} < 1\) và \(\dfrac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\sqrt {{x^3} - 2} + 5}} > 2\)

Thật vậy:

+ Ta xét \(\dfrac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} + 4}} < 1 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} > x - 1\)

Đặt \(\sqrt[3]{{{x^2} - 1}} = t > 0 \Rightarrow x = \sqrt {{t^3} + 1} \).

Bất phương trình tương đương với \({t^2} + 2t + 1 > \sqrt {{t^3} + 1} \Leftrightarrow {t^4} + 3{t^3} + 6{t^2} + 4t > 0\).

Điều này là hiển nhiên đúng.

+ Ta xét: \(\dfrac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\sqrt {{x^3} - 2} + 5}} > 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 1 > 2\sqrt {{x^3} - 2} \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} + 7{x^2} - 6x + 9 > 0\)

Điều này luôn đúng với \(x \ge \sqrt[3]{2}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 3\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link