Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(O x y\), cho đường thẳng \(\Delta: x-y=0\). Đường tròn
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(O x y\), cho đường thẳng \(\Delta: x-y=0\). Đường tròn \((C)\) có bán kính \(R=\sqrt{10}\) cắt \(\Delta\) tại hai điểm \(A, B\) sao cho \(A B=4 \sqrt{2}\). Các tiếp tuyến của \((C)\) tại hai điểm \(A, B\) cắt nhau tại một điểm thuộc tia \(O y\). Phương trình của đường tròn \((C)\) là \((x-a)^2+(y-b)^2=c\). Tính \(a+b+c\)
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Gọi \(I\) là tâm của đường tròn \((C)\); gọi \(M\) là giao điểm của các tiếp tuyến tại \(A, B\) của \((C), H=I M \cap A B\).
Suy ra \(H\) là trung điểm của \(A B, A H=\dfrac{A B}{2}=2 \sqrt{2}\).
Vì \(M\) thuộc tia \(O y\) nên \(M(0 ; t), t \geq 0\).
Ta có: \(\dfrac{1}{A H^2}=\dfrac{1}{A M^2}+\dfrac{1}{A I^2}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{(2 \sqrt{2})^2}=\dfrac{1}{A M^2}+\dfrac{1}{(\sqrt{10})^2} \Rightarrow A M=2 \sqrt{10}\).
Vậy \(M H=\sqrt{M A^2-A H^2}=4 \sqrt{2}\).
Ta có: \(M H=d(M, \Delta)=\frac{|0-t|}{\sqrt{1+1}}=4 \sqrt{2} \Rightarrow t=8 \Rightarrow M(0 ; 8)\).
Phương trình đường thẳng \(I M\) qua \(M\), vuông góc với \(\Delta\) là \(I M: x+y-8=0\).
Toạ độ \(H\) là nghiệm của hệ: \(\left\{\begin{array}{l}x-y=0 \\ x+y-8=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4 \\ y=4\end{array} \Rightarrow H(4 ; 4)\right.\right.\).
Ta có \(I H=\sqrt{I A^2-A H^2}=\sqrt{2}\).
Suy ra: \(\dfrac{I H}{M H}=\dfrac{\sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}=\dfrac{1}{4} \Rightarrow \overrightarrow{I H}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{H M} \Rightarrow I(5 ; 3)\).
Vậy phương trình đường tròn \((C)\) là: \((x-5)^2+(y-3)^2=10\).
Vậy \(a+b+c=5+3+10=18\).
Đáp án cần điền là: 18
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
