Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(O x y\), cho đường thẳng \(\Delta: x-y=0\). Đường tròn
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(O x y\), cho đường thẳng \(\Delta: x-y=0\). Đường tròn \((C)\) có bán kính \(R=\sqrt{10}\) cắt \(\Delta\) tại hai điểm \(A, B\) sao cho \(A B=4 \sqrt{2}\). Các tiếp tuyến của \((C)\) tại hai điểm \(A, B\) cắt nhau tại một điểm thuộc tia \(O y\). Phương trình của đường tròn \((C)\) là \((x-a)^2+(y-b)^2=c\). Tính \(a+b+c\)
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Gọi \(I\) là tâm của đường tròn \((C)\); gọi \(M\) là giao điểm của các tiếp tuyến tại \(A, B\) của \((C), H=I M \cap A B\).
Suy ra \(H\) là trung điểm của \(A B, A H=\dfrac{A B}{2}=2 \sqrt{2}\).
Vì \(M\) thuộc tia \(O y\) nên \(M(0 ; t), t \geq 0\).
Ta có: \(\dfrac{1}{A H^2}=\dfrac{1}{A M^2}+\dfrac{1}{A I^2}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{(2 \sqrt{2})^2}=\dfrac{1}{A M^2}+\dfrac{1}{(\sqrt{10})^2} \Rightarrow A M=2 \sqrt{10}\).
Vậy \(M H=\sqrt{M A^2-A H^2}=4 \sqrt{2}\).
Ta có: \(M H=d(M, \Delta)=\frac{|0-t|}{\sqrt{1+1}}=4 \sqrt{2} \Rightarrow t=8 \Rightarrow M(0 ; 8)\).
Phương trình đường thẳng \(I M\) qua \(M\), vuông góc với \(\Delta\) là \(I M: x+y-8=0\).
Toạ độ \(H\) là nghiệm của hệ: \(\left\{\begin{array}{l}x-y=0 \\ x+y-8=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4 \\ y=4\end{array} \Rightarrow H(4 ; 4)\right.\right.\).
Ta có \(I H=\sqrt{I A^2-A H^2}=\sqrt{2}\).
Suy ra: \(\dfrac{I H}{M H}=\dfrac{\sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}=\dfrac{1}{4} \Rightarrow \overrightarrow{I H}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{H M} \Rightarrow I(5 ; 3)\).
Vậy phương trình đường tròn \((C)\) là: \((x-5)^2+(y-3)^2=10\).
Vậy \(a+b+c=5+3+10=18\).
Đáp án cần điền là: 18
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
