Cho đường tròn \((C): x^2+y^2-2 x+4 y-4=0\) có tâm \(I\) và đường thẳng \(\Delta:

Câu hỏi số 761672:

Vận dụng

Cho đường tròn \((C): x^2+y^2-2 x+4 y-4=0\) có tâm \(I\) và đường thẳng \(\Delta: \sqrt{2} x+m y+1-\sqrt{2}=0\).
Tìm \(m\) để đường thẳng \(\Delta\) cắt đường tròn \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(A, B\) để diện tích tam giác \(I A B\) là lớn nhất.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:761672

Giải chi tiết

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(1 ;-2)\), bán kính \(R=3\).
\(\Delta\) cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt

\(\Leftrightarrow \dfrac{|\sqrt{2}-2 m+1-\sqrt{2}|}{\sqrt{2+m^2}}<3 \Leftrightarrow|1-2 m| \leq 3 \sqrt{2+m^2}\)

\(\Leftrightarrow 4 m^2-4 m+1 \leq 9 m^2+18\)

\(\Leftrightarrow 5 m^2+4 m+17>0\) (đúng với mọi \(m\) ).
Vậy với mọi số thực \(m\) thì \(\Delta\) cắt đường tròn \((C)\) tại hai điểm phân biệt.
Ta có: \(S_{A L B}=\dfrac{1}{2} L A \cdot I B \cdot \sin \widehat{A I B}=\dfrac{9}{2} \sin \widehat{A I B} \leq \dfrac{9}{2}(\) vì \(\sin \widehat{A I B} \leq 1)\).
Suy ra: \(\left(S_{A B B}\right)_{\max }=\dfrac{9}{2}\);

Khi đó \(\sin \widehat{A I B}=1 \Leftrightarrow \widehat{A I B}=90^{\circ}\)
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên \(\Delta\)

\(\Rightarrow \widehat{A I H}=45^{\circ} \Rightarrow I H=I A \cdot \cos 45^{\circ}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)
Ta có: \(d(I, \Delta)=I H \Leftrightarrow \dfrac{|1-2 m|}{\sqrt{2+m^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow m^2+8 m+16=0 \Leftrightarrow m=-4\).
Vậy với \(m=-4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần điền là: -4

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.