Cho đường tròn \((C): x^2+y^2-2 x+4 y-4=0\) có tâm \(I\) và đường thẳng \(\Delta:

Câu hỏi số 761672:

Vận dụng

Cho đường tròn \((C): x^2+y^2-2 x+4 y-4=0\) có tâm \(I\) và đường thẳng \(\Delta: \sqrt{2} x+m y+1-\sqrt{2}=0\).
Tìm \(m\) để đường thẳng \(\Delta\) cắt đường tròn \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(A, B\) để diện tích tam giác \(I A B\) là lớn nhất.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:761672

Giải chi tiết

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(1 ;-2)\), bán kính \(R=3\).
\(\Delta\) cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt

\(\Leftrightarrow \dfrac{|\sqrt{2}-2 m+1-\sqrt{2}|}{\sqrt{2+m^2}}<3 \Leftrightarrow|1-2 m| \leq 3 \sqrt{2+m^2}\)

\(\Leftrightarrow 4 m^2-4 m+1 \leq 9 m^2+18\)

\(\Leftrightarrow 5 m^2+4 m+17>0\) (đúng với mọi \(m\) ).
Vậy với mọi số thực \(m\) thì \(\Delta\) cắt đường tròn \((C)\) tại hai điểm phân biệt.
Ta có: \(S_{A L B}=\dfrac{1}{2} L A \cdot I B \cdot \sin \widehat{A I B}=\dfrac{9}{2} \sin \widehat{A I B} \leq \dfrac{9}{2}(\) vì \(\sin \widehat{A I B} \leq 1)\).
Suy ra: \(\left(S_{A B B}\right)_{\max }=\dfrac{9}{2}\);

Khi đó \(\sin \widehat{A I B}=1 \Leftrightarrow \widehat{A I B}=90^{\circ}\)
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên \(\Delta\)

\(\Rightarrow \widehat{A I H}=45^{\circ} \Rightarrow I H=I A \cdot \cos 45^{\circ}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)
Ta có: \(d(I, \Delta)=I H \Leftrightarrow \dfrac{|1-2 m|}{\sqrt{2+m^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow m^2+8 m+16=0 \Leftrightarrow m=-4\).
Vậy với \(m=-4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần điền là: -4

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10