Cho các số thực dương a, b phân biệt thỏa mãn điều kiện ab ≤ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + +

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 763:

Cho các số thực dương a, b phân biệt thỏa mãn điều kiện ab ≤ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{2}{a^{4}}$ + $\frac{2}{b^{4}}$ + $\frac{3}{(a-b)^{2}}$

A. Giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{17}{6}$

B. Giá trị nhỏ nhất của P là- $\frac{13}{8}$

C. Giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{13}{8}$

D. Giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{15}{6}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:763

Giải chi tiết

Từ giả thiết 0 < ab ≤ 4 ta có

P ≥ $\frac{a^{2}b^{2}}{16}$ $(\frac{2}{a^{4}}+\frac{2}{b^{4}})$ + $\frac{ab}{4}$ . $\frac{3}{(a-b)^{2}}$ = $\frac{1}{8}$ ( $\frac{a^{2}}{b^{2}}$ + $\frac{b^{2}}{a^{2}}$ ) + $\frac{3}{4}$ . $\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}$

Đặt t = $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ . Khi đó t ≥ 2 và P≥ $\frac{1}{8}$ (t²-2) + $\frac{3}{4}$ . $\frac{1}{t-2}$ = $\frac{1}{8}$ t²+ $\frac{3}{4}$ . $\frac{1}{t-2}$ - $\frac{1}{4}$ .

Xét hàm f(t) = $\frac{1}{8}$ t²+ $\frac{3}{4}$ . $\frac{1}{t-2}$ - $\frac{1}{4}$ trên (2;+∞). Ta có

f'(t) = $\frac{1}{4}$ t - $\frac{3}{4}$ . $\frac{1}{(t-2)^{2}}$ ; f'(t) = 0⇔ t $(t-2)^{2}$ = 3 ⇔ t = 3

Vì $\lim_{t\rightarrow2^{+}}$ f(t) = $\lim_{t\rightarrow+\infty}f(t)$ = +∞ nên $\min_{(0;+\infty)}f(t)$ = f(3) = $\frac{13}{8}$

Suy ra P ≥ $\frac{13}{8}$ , dấu đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}ab=4\\t=3\end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix}ab=4\\a+b=2\sqrt{5}\end{matrix}\right.$

hay $\begin{bmatrix}a=\sqrt{5}-1,b=\sqrt{5}+1\\a=\sqrt{5}+1,b=\sqrt{5}-1\end{bmatrix}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{13}{8}$ .

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.