Cho \(\Delta ABC\) có \(3\) góc nhọn và đường cao \(BE\). Gọi \(H,K\) lần lượt

Câu hỏi số 764866:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) có \(3\) góc nhọn và đường cao \(BE\). Gọi \(H,K\) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \(E\) đến \(AB,AC.\)

a) Chứng minh tứ giác \(BHEK\) nội tiếp.

b) Chứng minh:\(BH.BA = BK.BC\).

c) Gọi \(F\) là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \(C\) đến đường thẳng \(AB\), \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng\(EF\). Chứng minh rằng \(H,I,K\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:764866

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(4\) điểm \(B\),\(H\),\(K\),\(E\) nằm trên đường tròn đường kính \(BE\). Từ đó kết luận tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(\Delta BHK\)~\(\Delta BCA(g.g) \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BC}} = \dfrac{{BK}}{{BA}} \Rightarrow BH.BA = BK.BC\)

c) Giả sử\(HK\) cắt \(CF\) tại \(M\). Khi đó chứng minh \(EHFM\) là hình chữ nhật mà \(I\) là trung điểm của đường chéo \(EF \Rightarrow I\) là trung điểm của \(HM\). Từ đó kết luận các điểm thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\angle {BHE} = 90^\circ \) nên \(3\) điểm \(B\),\(H\),\(E\) nằm trên đường tròn đường kính \(BE\)

\(\angle {BKE} = 90^\circ \) nên \(3\) điểm B, K, E nằm trên đường tròn đường kính \(BE\)

Nên \(4\) điểm \(B\),\(H\),\(K\),\(E\) nằm trên đường tròn đường kính \(BE\)

Suy ra \(BHEK\) là tứ giác nội tiếp

b) Vì \(BHEK\) là tứ giác nội tiếp nên \(\angle {BHK} = \angle {BEK}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung BK) mà \(\angle {BEK} = \angle {BCE}\) (cùng cộng với \(\angle {KEC}\) bằng \({90^0}\))

\( \Rightarrow \angle {BHK} = \angle {BCE}\)

+) Xét \(\Delta BHK\) và \(\Delta BCA\) có \(\angle B\) chung; \(\angle {BHK} = \angle {BCA}\)

\(\Delta BHK\)~\(\Delta BCA(g.g) \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BC}} = \dfrac{{BK}}{{BA}} \Rightarrow BH.BA = BK.BC\)

c) Giả sử\(HK\) cắt \(CF\) tại \(M\).

Ta chỉ việc chứng minh \(HM\) đi qua trung điểm I của EF

- Vì \(BHEK\) nội tiếp \(\angle {HBE} = \angle {HKE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung HE)

- \(\angle {ABE} = \angle {ACF}\) (cùng cộng với \(\angle A\) bằng \({90^0}\)) \( \Rightarrow \angle {MKE} = \angle {MCE}\)

Giả sử \(CM\) cắt \(KE\) tại \(N\)

Ta có \(\Delta MNK\)~\(\Delta ENC\)(g-g) suy ra \(\dfrac{{NM}}{{NC}} = \dfrac{{NK}}{{NE}}\)

Xét \(\Delta MNE\)và \(\Delta KNC\) có

\(\dfrac{{NM}}{{NC}} = \dfrac{{NK}}{{NE}}\); \(\angle {MNE} = \angle {KNC}\)(đối đỉnh)

Suy \(\angle {ENC} = \angle {EKC}\) mà \(\angle {EKC} = 90^\circ \Rightarrow \angle {EMC} = 90^\circ \)

Hay \(\angle {EHF} = \angle {HFM} = \angle {FME} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow EHFM\) là hình chữ nhật mà \(I\) là trung điểm của đường chéo \(EF \Rightarrow I\) là trung điểm của \(HM\)

\( \Rightarrow H,I,M,K\) thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link