Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AD.\) Hai

Câu hỏi số 764959:

Vận dụng

Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AD.\) Hai đường chéo \(AC,BD\) cắt nhau tại \(E.\) Từ \(E\) kẻ \(EF\)vuông góc với \(AD\) (\(F \in AD\)). Đường thẳng \(CF\) cắt đường tròn tại điểm thứ hai là \(M.\) Giao điểm của \(BD\) và \(CF\) là \(N.\) Chứng minh:

a) \(CEFD\) là tứ giác nội tiếp.

b) \(FA\) là tia phân giác của \(\angle {BFM}\).

c) \(BE.DN = EN.BD\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:764959

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(CI = FI = IE = ID\), từ đó suy ra tứ giác \(CEFD\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(I\) đường kính \(ED\) (\(I\) là trung điểm của \(ED\)).

b) Chứng minh \(\angle {BFA} = \angle {AFM}\).

c) Chứng minh \(\dfrac{{BE}}{{EN}} = \dfrac{{BD}}{{DN}} \Rightarrow BE.DN = EN.BD\).

Giải chi tiết

a) Ta có \(\angle {ACD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên \(\Delta ECD\) vuông tại \(C\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(ED\)

Ta có \(CI\) là đường trung tuyến hạ xuống cạnh huyền \(ED\)

Nên \(CI = IE = ID = \dfrac{1}{2}ED\) (1)

Tương tự trong tam giác \(EFD\) vuông tại \(F\), ta có

\(FI = IE = ID = \dfrac{1}{2}ED\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(CI = FI = IE = ID\)

Hay tứ giác \(CEFD\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(I\) đường kính \(ED\)

b) Ta có \(CEFD\) nội tiếp nên \(\angle {CED} = \angle {CFD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

Chứng minh tương tự câu a) ta có \(ABEF\) là tứ giác nội tiếp

Suy ra \(\angle {BEA} = \angle {BFA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Mà \(\angle {BEA} = \angle {CED}\) (đối đỉnh); \(\angle {AFM} = \angle {CFD}\) (đối đỉnh)

Do đó \(\angle {BFA} = \angle {AFM}\)

Hay \(FA\) là tia phân giác \(\angle {BFM}\)

c) Ta có \(\angle {EFC} = \angle {EDC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

\(\angle {EFB} = \angle {BAE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB)

Mà \(\angle {BAE} = \angle {BAC} = \angle {BDC} = \angle {EDC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Suy ra \(\angle {EFC} = \angle {EFB}\) hay \(FE\) là tia phân giác của \(\angle {BFC}\)

Trong \(\Delta BFN\)có \(FE\) là phân giác trong tại đỉnh \(F\) \( \Rightarrow \dfrac{{BE}}{{EN}} = \dfrac{{FB}}{{FN}}\)

Mà\(EF \bot \;FD\)\( \Rightarrow FD\) là phân giác ngoài tại đỉnh \(F\)\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DN}} = \dfrac{{FB}}{{FN}}\)

Suy ra \(\dfrac{{BE}}{{EN}} = \dfrac{{BD}}{{DN}} \Rightarrow BE.DN = EN.BD\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link