Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\). Chứng minh rằng: \(\sqrt

Câu hỏi số 766115:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\).

Chứng minh rằng: \(\sqrt {\dfrac{{ab + 2{c^2}}}{{1 + ab - {c^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{bc + 2{a^2}}}{{1 + bc - {a^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{ca + 2{b^2}}}{{1 + ca - {b^2}}}} \ge 2 + ab + bc + ca\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:766115

Phương pháp giải

Từ giả thiết \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\), biến đổi suy ra \(1 + ab - {c^2} = {a^2} + {b^2} + ab\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm \(\sqrt {ab + 2{c^2}} \)và \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + ab} \) để có \(\sqrt {\dfrac{{ab + 2{c^2}}}{{1 + ab - {c^2}}}} = \dfrac{{ab + 2{c^2}}}{{\sqrt {\left( {ab + 2{c^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + ab} \right)} }} \ge ab + 2{c^2}\)

Tương tự với 2 căn thức còn lại, rồi cộng vế với vế của các bất đẳng thức để suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

Ta có: \(1 + ab - {c^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + ab - {c^2} = {a^2} + {b^2} + ab > 0\,({a^2} + {b^2} \ne 0)\)

\( \Rightarrow ab + 2{c^2} \ge 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm, ta có:

\(\sqrt {\left( {ab + 2{c^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + ab} \right)} \le \dfrac{{2{c^2} + {a^2} + {b^2} + 2ab}}{2} \le \dfrac{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{2} = 1\)

(do \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\))

Ta lại có: \(1 + ab - {c^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + ab - {c^2} = {a^2} + {b^2} + ab\)

Khi đó: \(\sqrt {\dfrac{{ab + 2{c^2}}}{{1 + ab - {c^2}}}} = \dfrac{{ab + 2{c^2}}}{{\sqrt {\left( {ab + 2{c^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + ab} \right)} }} \ge ab + 2{c^2}\left( 1 \right)\)

Tương tự \(\sqrt {\dfrac{{bc + 2{a^2}}}{{1 + bc - {a^2}}}} \ge bc + 2{a^2}\left( 2 \right)\) và \(\sqrt {\dfrac{{ca + 2{b^2}}}{{1 + ca - {b^2}}}} \ge ca + 2{b^2}\left( 3 \right)\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt {\dfrac{{ab + 2{c^2}}}{{1 + ab - {c^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{bc + 2{a^2}}}{{1 + bc - {a^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{ca + 2{b^2}}}{{1 + ca - {b^2}}}} \ge ab + 2{c^2} + bc + 2{a^2} + ca + 2{b^2}\\ = 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + ab + bc + ca = 2 + ab + bc + ca\end{array}\)

Dấu “=’’ khi \(a = b = c = \dfrac{{ \pm \sqrt 3 }}{3}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link