Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(BC.\) Trên cung \(BC\) lấy các điểm \(F,\,\,E\)

Câu hỏi số 766114:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(BC.\) Trên cung \(BC\) lấy các điểm \(F,\,\,E\) (\(F \in cung\,BE;\)\(E,\,\,F\) khác \(B\) và \(C\)); đường thẳng \(BF\) và \(CE\) cắt nhau tại \(A;\) \(BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H;\) đường thẳng \(AH\) cắt \(EF\) và \(BC\) lần lượt tại \(I\) và \(D.\) Đường thẳng qua \(I\) song song với \(BC\) cắt \(AB,BE\) lần lượt tại \(P,\,\,Q.\) Tia \(AQ\) cắt \(BC\) tại \(K.\)

a) Chứng minh các tứ giác \(AEHF,\,\,ACDF\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(AI.HD = AD.HI\) và \(D\) là trung điểm của \(BK.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:766114

Phương pháp giải

a) Chứng minh các tứ giác có bốn điểm cùng thuộc 1 đường tròn.

b) Chứng minh \(FH\) là phân giác của góc \(DFE\) rồi áp dụng tính chất đường phân giác để suy ra \(AI.HD = AD.HI\)

Sử dụng định lý Thales chứng minh \(DB = DK\) hay \(D\) là trung điểm của \(BK\)

Giải chi tiết

a) Vì \(\angle BEC\) và \(\angle BFC\) là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên: \(\angle BEC = \angle BFC = 90^\circ \) suy ra \(\angle AEH = \angle AFH = 90^\circ \)

Suy ra hai điểm \(E\) và \(F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)

Suy ra bốn điểm \(A\,,\,E\,,\,H\,,\,F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)

Vậy tứ giác \(AEHF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH.\)

Tam giác \(ABC\)có \(BE\) và \(CF\)là hai đường cao cắt nhau tại \(H\) suy ra \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) suy ra \(AD \bot BC\)

Tứ giác \(ACDF\) có: \(\angle ADC = \angle AFC = 90^\circ \) suy ra \(D\) và \(F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AC.\) Do đó tứ giác \(ACDF\) là tứ giác nội tiếp.

Tứ giác \(AEHF\)nội tiếp suy ra: \(\angle EFH = \angle EAH\)(cùng chắn cung \(EH\))

Tứ giác \(ACDF\) nội tiếp suy ra: \(\angle DFH = \angle EAH\) (cùng chắn cung \(DC\))

Suy ra \(\angle EFH = \angle DFH\)\(\left( { = \angle EAH} \right)\)

Suy ra \(FH\) là phân giác của góc \(DFE.\)

Xét tam giác \(IFD\) có \(FH\) là tia phân giác trong tại đỉnh \(F\)nên ta có: \(\dfrac{{HI}}{{HD}} = \dfrac{{FI}}{{FD}}(1)\) (tính chất tia phân giác trong)

Lại có: \(FH \bot FA\) nên \(FA\) là tia phân giác ngoài tại đỉnh \(F\)của tam giác \(DFE\) suy ra \(\dfrac{{AI}}{{AD}} = \dfrac{{FI}}{{FD}}(2)\) (tính chất tia phân giác góc ngoài).

Từ (1) và (2) suy ra\(\dfrac{{HI}}{{HD}} = \dfrac{{AI}}{{AD}}\) suy ra \(AI.HD = AD.HI\) (đpcm)

Ta có: \(IP//BD\) suy ra \(\dfrac{{IP}}{{BD}} = \dfrac{{AI}}{{AD}}(3)\) (Hệ quả định lí Thales)

Lại có: \(IQ//BD\) suy ra \(\dfrac{{IQ}}{{BD}} = \dfrac{{IH}}{{HD}}(4)\)

Mặt khác: \(\dfrac{{HI}}{{HD}} = \dfrac{{AI}}{{AD}}\) (5) (chứng minh trên)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: \(\dfrac{{IP}}{{DB}} = \dfrac{{IQ}}{{BD}}\) suy ra \(IP = IQ\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IP//DB \Rightarrow \dfrac{{IP}}{{DB}} = \dfrac{{AI}}{{AD}}\\IQ//DK \Rightarrow \dfrac{{IQ}}{{DK}} = \dfrac{{AI}}{{AD}}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{IP}}{{DB}} = \dfrac{{IQ}}{{DK}}\)

Mà \(IP = IQ\) nên \(DB = DK\)suy ra \(D\) là trung điểm của \(BK\)(đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link