Cho hình vuông $ABCD$ và đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,{\rm{

Câu hỏi số 767280:

Thông hiểu

Cho hình vuông $ABCD$ và đặt $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,{\rm{ }}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b .$ Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định sai là

A. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0.$

B. $\left( {\overrightarrow a + \dfrac{1}{2}\overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow b + \dfrac{1}{2}\overrightarrow a } \right) \neq 0.$

C. $\left( { - \overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) \cdot \left( {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = 0.$

D. $\left( {\dfrac{1}{2}\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = 0.$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767280

Phương pháp giải

Sử dụng tích vô hướng.

Giải chi tiết

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh là $k$ ($k > 0$).

Đặt $\vec{AB} = \vec{a}$ và $\vec{BC} = \vec{b}$. Ta có các tính chất sau:

Do $AB \perp BC \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Do $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow |\vec{a}| = |\vec{b}| = k \Rightarrow \vec{a}^2 = \vec{b}^2 = k^2$.

Đáp án A: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Đây là khẳng định ĐÚNG (do tính chất vuông góc).

Đáp án B: $(\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) \cdot (\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}) = 0$.

Khai triển: $\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}^2 + \frac{1}{2}\vec{b}^2 + \frac{1}{4}\vec{b} \cdot \vec{a} = \frac{5}{4}(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \frac{1}{2}(\vec{a}^2 + \vec{b}^2)$.

Thay số: $\frac{5}{4}(0) + \frac{1}{2}(k^2 + k^2) = k^2$.

Vì $k > 0$ nên $k^2 \neq 0$. Vậy khẳng định B là Đúng.

Đáp án C: $(-\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b}) = 0$.

Khai triển: $-2\vec{a}^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} + 4\vec{b} \cdot \vec{a} - 2\vec{b}^2 = -2\vec{a}^2 + 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2\vec{b}^2$.

Thay số: $-2k^2 + 5(0) - 2k^2 = -4k^2$.

Vì $-4k^2 \neq 0$ nên khẳng định C là SAI.

Đáp án D: $(\frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b}) = 0$.

Khai triển: $\vec{a}^2 + \frac{1}{2}\vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b}^2 = \vec{a}^2 - \frac{3}{2}(\vec{a} \cdot \vec{b}) - \vec{b}^2$.

Thay số: $k^2 - 0 - k^2 = 0$.

Đây là khẳng định ĐÚNG.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.